Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

1. Khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

• Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ $\overrightarrow{n}$khác $\overrightarrow{0}$và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\overrightarrow{n}$được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

• Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$làm vec tơ pháp tuyến.

• Nếu $\overrightarrow{n}$là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}$(k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

2. Ví dụ minh họa về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Hướng dẫn giải

Với $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ có giá là trục Oz và Oz ⊥ (Oxy) nên $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?

a. $\overrightarrow{AA\text{'}};2\overrightarrow{BB\text{'}}$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

b. $\overrightarrow{BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC’A’).

c. $\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải

Vì các đường thẳng AA’ và BB’ vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên $\overrightarrow{AA\text{'}};2\overrightarrow{BB\text{'}}$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD). Suy ra a là khẳng định đúng.

Đường thẳng BD vuông góc với hai đường thẳng AC và AA’ nên vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’). Vậy $\overrightarrow{BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC’A’). Suy ra b là khẳng định đúng.

Đường thẳng A’C’ không vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên $\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}$ không là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Suy ra c là khẳng định sai.

Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (P): −2x + 4y + 9z + 1 = 0. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A. $\overrightarrow{n}=\left(2;4;9\right)$.

B. $\overrightarrow{n}=\left(-2;4;9\right)$.

C. $\overrightarrow{n}=\left(4;9;1\right)$.

D. $\overrightarrow{n}=\left(-2;4;1\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình −2x + 4y + 9z + 1 = 0 có A = −2; B = 4; C = 9. Vậy nên $\overrightarrow{n}=\left(-2;4;9\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

3. Bài tập về vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của:

a. Mặt phẳng (Oyz).

b. Mặt phẳng (Ozx).

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(3;0;0), B(0;4;0). Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5). Tìm tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).

Bài 4. Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a. (P): 3x – 5y + 7z + 5 = 0.

b. (Q): x + y – 2 = 0.

c. (R): x – y = 0.

d. (Y): z – 2 = 0.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x + 2y – z + 1 = 0.

a. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

b. Vectơ $\overrightarrow{m}=\left(2;4;-2\right)$ có là vectơ pháp tuyến của (α) hay không?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì

---