Tọa độ của vectơ trong không gian là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Tọa độ của vectơ trong không gian là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tọa độ của vectơ trong không gian.

1. Tọa độ của vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\vec{a}$ = (x; y; z) hoặc $\vec{a}$ (x; y; z).

Nhận xét: + Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ cũng là tọa độ của điểm M sao cho $\vec{O M} = \vec{a}$ .

+ Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$ . Khi đó, $\vec{a} = \vec{b}$ nếu và chỉ nếu $\{\begin{cases} x = x' \\ y = y' \\ z = z' \end{cases}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (x_{M}; y_{M}; z_{M})$ và $N (x_{N}; y_{N}; z_{N})$ . Khi đó:

$\vec{M N} = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

2. Ví dụ minh họa về tọa độ của vectơ trong không gian

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho $\vec{u} = - 2 \vec{i} + 5 \vec{j} + \frac{1}{2} \vec{k}$ và $\vec{v} = (1; - 3; 3)$ .

a) Tìm tọa độ $\vec{u}$ .

b) Biểu diễn $\vec{v}$ theo các vectơ đơn vị $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ .

c) Tìm tọa độ của $\vec{m} = 2 \vec{u} + 3 \vec{v}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì $\vec{u} = - 2 \vec{i} + 5 \vec{j} + \frac{1}{2} \vec{k}$ nên $\vec{u} = (- 2; 5; \frac{1}{2})$ .

b) Vì $\vec{v} = (1; - 3; 3)$ nên $\vec{v} = \vec{i} - 3 \vec{j} + 3 \vec{k}$ .

c) Biểu diễn $\vec{m}$ qua các vectơ đơn vị:

$\vec{m} = 2 \vec{u} + 3 \vec{v} = 2 (- 2 \vec{i} + 5 \vec{j} + \frac{1}{2} \vec{k}) + 3 (\vec{i} - 3 \vec{j} + 3 \vec{k}) = - \vec{i} + \vec{j} + 10 \vec{k}$ .

Do đó, $\vec{a} = (- 1; 1; 10)$ .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; –1) và B(2; 3; 5). Tìm tọa độ của $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{A B}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\vec{O A} = (1; 2; - 1), \vec{O B} = (2; 3; 5); \vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A}) = (1; 1; 6)$ .

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 4), B(2; 5; 6), C(1; –3; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A}) = (1; 3; 2)$ .

A, B, C không thẳng hàng nên để ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Gọi $D (x_{D}; y_{D}; z_{D})$ thì $\vec{D C} = (1 - x_{D}; - 3 - y_{D}; 5 - z_{D})$ .

$\vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - x_{D} = 1 \\ - 3 - y_{D} = 3 \\ 5 - z_{D} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} = 0 \\ y_{D} = - 6 \\ z_{D} = 3 \end{cases}$

Vậy D(0; –6; 3).

3. Bài tập về tọa độ của vectơ trong không gian

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (2; 0; 1); \vec{b} = (1; 3; 5); \vec{c} (- 1; 2; - 4)$ . Tìm tọa độ của $\vec{x} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b} + 4 \vec{c}$ .

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.MNPQ có A(1; 0; 1), B(2; 1; 4) và Q(4; 5; 2). Tìm tọa độ của $\vec{A B}, \vec{B Q}, \vec{P Q}$ .

Bài 3. Trong không gian Oxyz, một vật đi từ điểm A(3; 4; 1) đến điểm B(0; 2; 3) rồi tiếp tục đi đến điểm C(4; –1; 0).

Tìm vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật khi:

a) Vật đi từ điểm A đến điểm B.

b) Vật đi từ điểm A đến điểm C.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 4. Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên tia Ox, Oy, Oz. Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A S}, \vec{B D}$ .

Bài 5. Một vật ở trạng thái cân bằng khi hợp của tất cả các lực tác dụng lên vật được biểu diễn bằng $\vec{0}$ . Trong không gian Oxyz, biết rằng đang có ba lực biểu thị bởi ba vectơ $\vec{F_{1}} = (9; 6; 3), \vec{F_{2}} = (1; 5; 9), \vec{F_{3}} = (8; - 2; - 1)$ . Hãy tìm tọa độ của vectơ biểu thị lực $\vec{F_{4}}$ để khi tác dụng thêm lực này vào vật thì vật ở trạng thái cân bằng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học