Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ hay, chi tiết nhất

---

---

Bài viết Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ.

Bài giảng: Tất tần tật về Mặt trụ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1) Mặt trụ tròn xoay

    + Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và ℓ song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mặt phẳng (P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

    + Đường thẳng Δ được gọi là trục.

    + Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh.

    + Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2) Hình trụ tròn xoay

    + Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

    + Đường thẳng AB được gọi là trục.

    + Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.

    + Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.

    + Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.

    + Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3) Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:

    + Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

    + Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + S_đ = 2πrh + 2πr²

    + Thể tích khối trụ: V = πr² h

4) Tính chất:

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng , trong đó φ là góc giữa trục Δ và mặt phẳng (α) với 0 < φ < 90º.

- Cho mặt phẳng (α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.

    + Nếu k < r thì mặt phẳng (α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật.

    + Nếu k = r thì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

    + Nếu k > r thì mặt phẳng (α) không cắt mặt trụ.

Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:

    + Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

    + Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + S_đ = 2πrh + 2πr²

    + Thể tích khối trụ: V = πr² h

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7cm. Tính Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

Lời giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh = 2π.5.7 = 70π

Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = 2πrh + 2πr² = 70π+2π.5² = 120π

Thể tích khối trụ: V= πr² h = 2π.5².7 = 350π

Bài 2:

a) Một hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm²) và có bán kính đáy bằng 6 cm. Tính chiều cao của (T)

b) Một hình trụ (T) có thể tích bằng 81π (cm³) và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của (T) là:

Lời giải:

a) Ta có:

S_tp = 2πrh + 2πr² = 2π.6.h + 2π.6² = 120π

⇒ h = 4(cm)

Vậy chiều cao của hình trụ là 4 cm.

b) Gọi bán kính đáy của hình trụ là r

Do đường sinh của hình trụ bằng chiều cao nên chiều cao của hình trụ là 3r

Ta có: V = πr² h = πr².3r = 81π ⇒ r = 3

Vậy độ dài đường sinh là 3.3 = 9 cm.

Bài 3: Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = a√2 và ∠(ACB)=45^ordm;. Tính diện tích toàn phần S_tp của hình trụ (T)

Lời giải:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy BC, đường cao AB

∆ABC vuông cân tại B có AC = a√2 ⇒ AB = BC = a.

S_tp = 2πrh+2πr² = 2π.a.a+2πa² = 4πa²

Bài 4: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Tính thể tích của hình trụ đó

Lời giải:

Gọi O là tâm của ∆ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC

Xét tam giác SAO vuông tại O có:

Khi đó, hình trụ có

Thể tích của hình trụ là:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ
• Dạng 1: Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ
• Dạng 2: Thiết diện của hình trụ

---

---

---