Dạng bài tập về hình nón tròn xoay (cực hay, có lời giải)

Bài viết Dạng bài tập về hình nón tròn xoay với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập hình nón tròn xoay.

Bài giảng: Tất tần tật về Mặt nón - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

Cho đường thẳng ∆,một đường thẳng l cắt đường thẳng ∆ tại O và không vuông góc với ∆. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy SC = a√6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:

Hướng dẫn giải:

+ Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a√2

+ Xét tam giác SAC có:
SA = = 2a

+ Hình nón tròn xoay được tạo thành có bán kính đường tròn đáy r = AC = a√2 ; đường cao SA = 2a. Do đó, thể tích hình nón là:

Chọn A.

Ví dụ 2 Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, AB = a√7 ; BC = 4a. Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

Hướng dẫn giải:

Do tam giác ABC là tam giác cân tại A có AH là đường trung tuyến nên AH ⊥ BC

Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta được hình nón có:

+ Đường sinh l = AB = a√7

+ Bán kính đáy r = = 2a

Suy ra đường cao của hình nón là:

+ Thể tích của hình nón tạo thành là:

Chọn A.

Ví dụ 3 Cho một hình cầu bán kính 5, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường kính 4. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã cho. ( kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

A.18,18    B. 19,19    C. 19,2.    D. 17,16

Hướng dẫn giải:

Gọi thiết diện là đường tròn tâm A, đường kính d= 4 ⇒ bán kính r = 2. Gọi MN là một đường kính của đường tròn (A).

Gọi O là tâm của mặt cầu đã cho.

Hình nón có đáy là thiết diện là hình tròn tâm A và đỉnh là O có:

• Bán kính đường tròn đáy là: r = 2.

• Đường sinh là OM = 5 ( = bán kính của hình cầu đã cho)

• Chiều cao:

Diện tích đường tròn đáy là: S = πr² = 4π

Thể tích khối nón cần tính là:

Chọn C

Ví dụ 4 Hình chữ nhật ABCD có AB = 6; AD = 4. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng:

A. V = 8π    B. V = 6π    C. V = 4π    D. V = 2π

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, suy ra MNPQ là hình thoi tâm O.

Ta có:
QO = ON = AB = 3 và OM = OP = AD = 2

Vật tròn xoay là hai hình nón bằng nhau có: đỉnh lần lượt là Q; N và chung đáy.

* Bán kính đáy OM = 2

* Chiều cao hình nón OQ = ON = 3

Vậy thể tích khối tròn xoay

Chọn A.

Ví dụ 5 Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, CD = 4a cạnh bên AD = BC = 3a . Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Hướng dẫn giải:

+ Gọi giao điểm của AD và BC là E.

Do ABCD là hình thang nên AB // CD

Lại có: CD = 2AB nên

⇒ AB là đường trung bình của tam giác EDC

⇒ ED = 2AD = 6a

+ Gọi H và K lần lượt là trung điểm AB và CD thì ta có EK vuông góc với CD và HK là trục đối xứng của ABCD

Khối tròn xoay sinh bởi hình thang ABCD khi quay quanh trục của nó chính là phần thể tích nằm giữa hai khối nón:

+ Khối nón : Có đáy là hình tròn tâm K, bán kính KD = 2a, đường cao EK = 4a√2

+ Khối nón : Có đáy là hình tròn tâm H, bán kính HA = a, đường cao EH = 2a√2

Do đó thể tích cần tìm là

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp xác định mặt cầu (cực hay)
• Phương pháp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu (cực hay)
• Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp (cực hay)
• Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ (cực hay)
• Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón (cực hay)
• Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón (cực hay)
• Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ (cực hay)
• Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ (cực hay, có lời giải)
• Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương (cực hay)

---