Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số.

1. Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số

• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a; b] mà f’(x) = 0.

• Các bước tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] như sau:

Bước 1: Tìm các điểm x₁, x₂, …, x_n thuộc (a; b) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(x₁), f(x₂),.., f(x_n), f(a) và f(b).

Bước 3: So sánh các giá trị vừa tìm được ở bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]

2. Ví dụ minh họa về tìm GTLN – GTNN của hàm số

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 4x³ – 2x² + 5 trên đoạn [–1; 4].

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f(x) = 4x³ – 2x² + 5 trên [–1; 4]:

Ta có: f’(x) = 12x² – 4x, f’(x) = 0 $\iff$x = 0 (thỏa mãn) hoặc $x=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

f(–1) = –1; f(0) = 5; $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{133}{27}$; f(4) = 229.

Vì $-1<\frac{133}{27}<5<299$ nên $m=\underset{\left[-1;4\right]}{\min }f\left(x\right)=-1,\underset{\left[-1;4\right]}{\max }f\left(x\right)=229$.

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{8-2x^2}$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là [–2; 2].

Với x ∈ (–2; 2) ta có: $y\text{'}=\frac{\left(8-2x^2\right)\text{'}}{2\sqrt{8-2x^2}}=\frac{-2x}{\sqrt{8-2x^2}};y\text{'}=0\iff x=0$.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [–2; 2]:

Từ bảng biến thiên ta có: $\underset{\left[-2;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)=f\left(-2\right)=0,\underset{\left[-2;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=2\sqrt{2}$.

Ví dụ 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) = x³ + 6x² – 15x + 1 trên nửa khoảng [–6; +∞).

Hướng dẫn giải

Ta có: f’(x) = 3x² + 12x – 15, f’(x) = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = –5.

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên [–6; +∞):

Từ bảng biến thiên ta thấy, $\underset{\left[-6;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=-7$ và hàm số không có giá trị lớn nhất trên [–6; +∞).

3. Bài tập về cách tìm GTLN – GTNN của hàm số

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ + 2x² – 7x + 6 với x ∈ [0; 8].

b) y = x⁴ – 18x² + 3 với x ∈ [–1; 5].

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+5}{x-3}$ trên đoạn [–1; 2].

b) $y=\frac{x-5}{3x+2}$ trên đoạn [0; 3].

Bài 3.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 4^x + 4^–x trên đoạn [–1; 8].

b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = ln(x² + x + 3) trên đoạn [1; 3].

Bài 4. Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số N(t) = –2t³ + 24t², 0 ≤ t ≤ 15, trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N’(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (hay là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Bài 5. Bác Hải dự tính xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để tưới hoa trong vườn. Bác dự tính bể có thể tích là 54 m³, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Biết rằng chi phí xây dựng vật liệu mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu thì tổng chi phí là nhỏ nhất?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì

• Đường tiệm cận ngang là gì

• Đường tiệm cận đứng là gì

• Đường tiệm cận xiên là gì

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

---