21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Bài viết 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học.

Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x_o; y_o; z_o) và có vecto pháp tuyến n→(A;B;C) ≠ 0^→ :

A.(x- x_o) + B( y- y_o)+C( z- z_o) =0

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến n^→(2;3;4)

A. y – z + 1 = 0    B. 2x + y - z- 3= 0

C. 2x + 3y + 4z +1= 0    D. 2x- 3y - 4z - 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4) có phương trình là:

2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0

Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến n^→(2;-3;1)

A. 2x - 3y+ z + 2 = 0    B. 2x - 3y + z + 3=0

C. 2x - 3y+ z = 0    D. 2x – 3y + z - 3= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

=> M(2; 1; 2)

+ Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và có vecto pháp tuyến có phương trình là:

2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0

Hay 2x -3y + z - 3= 0

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( - 2; 3; -1) và C( 0; 2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và vecto pháp tuyến n^→(2;1;1)

A. 2x+ y+ z- 3= 0    B. 2x+ y- z+ 3=0

C. 2x+ z- 3= 0    D. 2x+ y- z- 6= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

=> G( 0; 2; 1)

+ Mặt phẳng đi qua điểm G(0; 2; 1) và có vecto pháp tuyến n→(2;1;1) có phương trình là:

2( x- 0) + 1( y - 2) + 1.( z - 1) = 0

Hay 2x+ y+ z – 3= 0

Chọn A.

1. Phương pháp giải

Cách 1:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n^→(A;B;C)

Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→(A;B;C)

Phương trình mặt phẳng (α):

A(x- x_o) + B. (y – y_o) + C( z- z_o) = 0

Cách 2:

Mặt phẳng (α ) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:

Ax+ By + Cz + D’= 0 (*) với D' ≠ D

Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x_o; y_o; z_o) nên thay tọa độ điểm M vào (*) tìm đươc D’

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.

A. x + 2y – 3z - 3= 0    B. x - 2y+ 3z + 5 = 0

C. x+ 2y - 3z +3 = 0    D. – x+ 2y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→(1;2-3) .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n→(1;2-3) nên có phương trình:

1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(0; -2;1) và B( 2; 0; 3). Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng Q: 2x + 5y +z - 10 =0

A. 2x+ 5y + z+ 2= 0    B. 2x+ 5y + z+ 3= 0

C. 2x+ 5y + z - 4= 0    D. 2x+ 5y + z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

=> M( 1; -1; 2)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2;5;1)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2;5;1) và đi qua điểm M (1; -1; 2) là:

2( x- 1) + 5( y+ 1) + 1(z- 2) = 0 hay 2x + 5y + z + 1= 0

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4), D( -1; 2; -3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)

A. x+ y – z - 4= 0    B. x+ y +z+ 2= 0     C.x - y+ z+ 6= 0     D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên n^→ cùng phương với [AB^→, AC^→]

Chọn n→(1;1;1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(1;1;1)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến n→(1;1;1) là:

1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-2;1;3), B(1; 2; 4), C(2; -1;3), D(0; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)

A. x+ 2y+ z- 2= 0     B. x- 2y- 5z- 5= 0     C. x+ 2y- 5z- 9= 0     D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng (ABC) ta có nên n^→ cùng phương với

Chọn n→(1;2;-5) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có VTPT n→ (1; 2; -5).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (0; 0; -1) và có vecto pháp tuyến n→ là:

1. (x – 0)+ 2( y – 0) - 5( z+ 1) =0 hay x+ 2y – 5z – 5 = 0

Chọn D.

1. Phương pháp giải

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

1. Tìm tọa độ các vecto AB→, AC→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [AB→, AC→]

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ = [AB→, AC→]

Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) có dạng là:

x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.

Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương

1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): n→ = [u→, v→]

2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT

=> Phương trình mặt phẳng (P).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)

A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0    B. 9x+ y- 3z – 7= 0

C. 9x- y- 3z- 11=0    D. 9x- y+ 3z- 10= 0

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→(0;3;1); AC→ => [AB→, AC→]= ( - 9; -1; 3)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên n^→ cùng phương với [AB^→, AC^→]

Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là

9.( x – 1)+1.(y + 2) - 3( z - 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5; 4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).

A. x+ y+ z - 12 = 0    B. x- y- z + 2= 0

C. x- y+ z – 4= 0    D. x+ y- z – 6= 0

Hướng dẫn giải:

Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên

A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a) ; ( a > 0)

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1

Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:

5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 = 0

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

A. x+ 4y+ z- 27= 0    B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0

C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0    D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→(-4;5-1); CD→(-1;0;-2) => [AB→, CD→] = (10; 9; 5)

Gọi n^→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: nên n^→ cùng phương với [AB^→, CD^→].

Chọn n→ = (10;9;5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n^→ và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) làm vecto chỉ phương?

A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0    B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0

C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0    D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

Ta có hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) là vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: n^→ = [u^→,v^→] = (- 3; - 6; 5)

Mặt phẳng (P) nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M( 2; -1; 2 ) nên phương trình mặt phẳng ( P) là:

-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0

Chọn B.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và mặt phẳng (P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?

A. 2x- 7y- 4z- 9= 0    B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0

C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0    D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB^→(0; 4; -7)

+ Lại có mặt phẳng ( P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương nên một vecto pháp tuyến của mp( P) là: n→ = [u→;AB→] = (-4; 14; 8)= -2( 2; -7; -4)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(2; -3; 4) và nhận n→ làm VTPT là:

2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0

Chọn A.

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x_o; y_o; z_o) và có vecto pháp tuyến n→(A:B:C) là:

A(x – x_o) + B( y – y_o) + C(z- z_o ) = 0

+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :

• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng).

• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB?

A. 3x + 2y - z+ 6= 0    B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0

C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0    D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.

=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ (- 6; -4; 2) làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ ( 3; 2; -1)

+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:

=> I( -1; - 1; 1)

+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:

3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1). Gọi M là trung điểm của AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?

A. 2x + y +z+ 3= 0    B. 2x + y - z+ 3= 0

C. 2x – y – z - 3 = 0    D. 2x – y + z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là:

=> M( 2; -1; -1)

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OM.

=> Mặt phẳng ( P) nhận OM→(2;-1;-1) làm vecto pháp tuyến

+ Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là:

+ Mặt phẳng ( P) qua I và vecto pháp tuyến OM→(2;-1;-1) có phương trình là:

2.(x-1) - 1.(y+1/2) - 1.(z+1/2) = 0 hay 2x – y – z – 3= 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A( 1; 2; 0) và I( -2; 1; 1)

A. x + y- z+ 1= 0    B. 3x+ y- z+ 6= 0

C. 3x- y+ z- 1= 0    D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB .

=> Mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc AI

=> Mặt phẳng ( P) đi qua I ( -2; 1; 1) và nhận vecto IA→ ( 3; 1; -1) làm vecto pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (P):

3( x+ 2) + 1( y-1) – 1(z- 1) = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0

Chọn B.

1. Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ; B( 0; b; 0) , C(0;0; c) với abc ≠ 0 có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1

+ Phương trình mặt phẳng có dạng: x/a + y/b + z/c = 1 cắt ba trục Ox; Oy;Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x - y+ 2z - 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn?

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2; -1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:

A. 2x - y+ 2z + 3 = 0    B. 2x – y - 2z – 6 =0

C. 2x + y - 2z + 9 = 0    D. 2x+ y + 3z - 9 =0

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng (P) phương trình có dạng:

Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm H(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) có phương trình là:

A. 2x+ y + z - 6= 0    B. 2x + y + z+ 6 = 0

C. 2x – y + z +6 = 0    D. 2x+ y - z + 6 = 0

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng ( P) phương trình có dạng:

Ta có:

Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên

Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1

hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) có phương trình là:

A. x – y - z- 3 = 0    B. x+ y+ z+ 3= 0

C. x+ y+ z - 3 = 0    D. x+ y – z+ 3 = 0

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) với a; b;c > 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1.

Thể tích khối tứ diện OABC: V_O.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :

Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2 .

=> V_OABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3

⇔ a = b = c = 3

(P): x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0

Chọn C

1. Phương pháp giải

+ Đường thẳng d: nhận vecto u^→(a; b; c) làm vecto chỉ phương.

Đường thẳng : nhận vecto u^→(a; b; c) làm vecto chỉ phương.

+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau:

Tìm vecto chỉ phương của d là u_d→

Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là n_α→= u_d→

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến n_α→

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d:

A. 2x – z = 0    B. –y+ 2z= 0     C. x- y+ 2z= 0     D. x + z = 0

Hướng dẫn giải:

+Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(2;0;-1)

+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến là:

n_P→ ^→= u_d→(2; 0; -1)

+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến n_P→ là:

2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1) và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

A. 2x+ y – z - 3= 0     B. x+ 2y - 2z + 2 = 0

C. -2x + y + z - 4 = 0    D. x + y + z + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ = BC→ = (-2; 1;1).

Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→ = BC→ = (-2; 1; 1)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3; 0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng (d): ?

A. 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0    B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0

C. 2x+ y+ 3z - 8=0    D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0

Hướng dẫn giải:

+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

=> I (2; 1; 1)

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ (2; 1; 3)

+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có VTPT là n→(2;1;3)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x-2) + 1( y- 1) + 3( z - 1) =0

Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1); B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông góc với đường thẳng (d) : ?

A. 2x - 3y+ z- 10= 0    B. 3x- 4y+ z - 1= 0

C. 3x+ 4y - z + 3= 0    D. 4x- 3y+ 2z - 10= 0

Hướng dẫn giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

=> G( 2; 1; -1)

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→(3;-4;1)

.

+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có vecto pháp tuyến là : n→(3;-4;1)

=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0

Hay 3x – 4y + z- 1= 0

Chọn B.

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là n_β→

• Tìm vecto chỉ phương của Δ là u_Δ→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là n_α→

• Lấy một điểm M trên Δ

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT n_α^→

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10 = 0

A. x+ z = 0    B. x+ y +1= 0    C. y - z + 1= 0     D. x – y + 2z= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→ = (1;2;-1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ =[u→ ,n_Q→ ]= ( - 4; 0; -4) = - 4(1; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n'→ (1; 0; 1) là:

1( x + 1) + 0( y - 2) + 1( z - 1) = 0 hay x+ z = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z – 98= 0 có phương trình là

A. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0    B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0

C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0    D.5x - 8y- 6z – 5 = 0

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u_∆→ (2;2; -1) và đi qua điểm A( -1; 1; -3).

+ Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: n_α→ ( 2; -1; 3)

+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một vecto pháp tuyến là n^→=[u_∆^→ ,n_α^→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)

Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2; -1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng α có phương trình là

A. x – 3y – 5z + 5 = 0    B. 3x - 4y – 5z = 0.

C. 3x - 4y – 5z – 2= 0    D. 3x+ 4y – 5z = 0

Hướng dẫn giải:

Ta có đường thẳng AB nhận AB→ (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phương

Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến n_α→ (2 ; -1 ; 2)

+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là n^→ = [AB^→ , n_α^→ ] = (-3; 4; 5) và đi qua A(3; 1; 1)

+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0

Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0

Chọn B.

1. Phương pháp giải

Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u₁→ ; u₂→

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n_α→ = [u₁→, u₂→]

Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0    B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0

C. 6x+ y- 2z+ 1= 0    D. 6x- y- 2z+ 4= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u₁^→(0;-2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u₂^→(1;2;2)

Ta có: [u₁^→,u₂^→] = ( - 6; 1; 2)

Gọi n^→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có: nên ^→ cùng phương với [u₁^→,u₂^→] . Chọn n^→ ( -6; 1; 2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n^→ (-6; 1; 2) có phương trình là:

- 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z - 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Mặt phẳng α chứa ∆₁ và song song với đường thẳng ∆₂ có phương trình là

A. x+ 4y + 2z + 2 = 0    B. 3x – 2y + 2z – 6 = 0

C. 3x – 2y + 2z + 6 = 0    D. x+ 4y+ 2z - 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M (0; 1; -2) và có vecto chỉ phương u₁^→ (2; 1; -2)

Đường thẳng d_2 đi qua điểm N (0; 0; 2) có vecto chỉ phương u₂^→ (2; 2; -1)

Ta có: [u₁^→, u₂^→] = (3; -2; 2)

Gọi n ^→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên n^→ cùng phương với [u₁^→, u₂^→] .Chọn n^→ ( 3; -2; 2)

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (0; 1; -2) và nhận VTPT n^→ ( 3; -2; 2) có phương trình là:

3( x- 0) – 2( y – 1) + 2( z+ 2) = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 3x - 2y + 2z + 6 = 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng .Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’

A. x+ 3y - 2z - 24= 0    B. x+ 3y+ 2z - 24=0

C. x - 3y+ 2z + 12= 0    D. x - 3y - 2z - 1= 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u₁^→ (2; 0; -1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u₂^→ (1; 1; -1)

Ta có: [u₁^→, u₂^→] = (1; 3; 2)

Gọi n^→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên n^→ cùng phương với [u₁^→, u₂^→]. Chọn n^→(1;3;2) .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n^→(1;3;2) có phương trình là:

1( x -1) + 3( y -5) + 2( z- 4) = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 3y + 2z – 24= 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

A. 10x+ 9y + 5z - 74= 0    B. 10x – 9y – 5z+ 2= 0

C. 10x - 9y + 5z + 56= 0    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB^→ (- 4; 5; -1); CD^→( -1; 0; 2) =>[AB^→, CD^→] = ( 10; 9; 5)

Gọi n^→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có nên n^→ cùng phương với [AB^→, CD^→] . Chọn n^→ (10; 9; 5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n^→ (10; 9; 5) và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10. (x – 5) + 9( y- 1)+ 5( z- 3) =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0

Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0

Chọn A.

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u^→ . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN^→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n^→ = [u^→, MN^→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.

A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0    B. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0

C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0    D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u^→(2;1; 2); AN^→( - 5; 4; -2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n^→ = [u^→; AN^→] = ( - 10; -6; 13) = - (10; 6; -13)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và chứa trục hoành có phương trình là:

A. y= 0    B. y= 2    C. z= 2    D. x= 0

Hướng dẫn giải:

Trục hoành đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u^→(1; 0; 0) ; OA^→(0; 0; 2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n^→ = [u^→; OA^→] = (0; -2; 0) = -2 (0; 1;0)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 0) + 1( y-0) + 0(z - 2) = 0 hay y = 0

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua A( 1; 2; 3) và chứa đường thẳng d: Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a+ b+ c?

A. - 1     B. 3     C. 2     D. 5

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm N(1; -1; -1) và có vecto chỉ phương u^→(2; 1; 3); AN^→(0; -3; -4)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n^→ = [u^→;AN^→] = ( 5; 8; -6)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 5( x- 1)+ 8( y-2) – 6( z- 3) = 0 hay 5x+ 8y- 6z – 3= 0

=> a+ b+ c = 8+ (-6) + (-3) = - 1

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; 1); B( 1; -2; 0) và C(2; 1; 2). Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng : 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?

A. 10     B. – 8     C. 6     D.12

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB^→ (0; -4; -1); BC^→ ( 1; 3; 2)

+ Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A; B và C nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n^→ = [AB^→, BC^→] = (- 5; -1; 4) = - ( 5; 1; -4)

=> Phương trình mặt phẳng (P) là:

5(x- 1) +1( y- 2) – 4( z- 1) = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0

=> a= 1; b= -4 và c= -3 nên a.b.c= 1.(-4).(-3) = 12

Chọn D.

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u₁^→; u₂^→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n^→ = [u₁^→; u₂^→]

• Lấy 1 điểm M trên d

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng

có phương trình là

A. (P): x+ y- z+ 2= 0    B. (P) : x- y- z+ 2= 0

C. (P) : x- z+ 2= 0    D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương u₁→ (2; 1; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vecto chỉ phương u₂→ (1; -1; 2)

Ta có: [u₁→,u₂→] = ( 3; -3; -3); MN₁→ (1; 1;0)

Do MN→ . [u₁→,u₂→] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u₁→,u₂→] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x+ 2) – 1( y+ 1) - 1( z- 1) = 0 hay x- y - z + 2= 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?

A. 10     B. -11     C. 11    D. 8

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 12) và có vecto chỉ phương u₁→ (1; -1; -3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương u₂→ (-1; 2; 0)

Ta có: [u₁→, u₁→]= ( 6; 3; 1); MN→ ( 0; 3; -9)

Do MN→. [u₁→, u₁→] = 0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u₁→, u₂→] = (6; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

6( x- 1)+ 3( y – 2) + 1( z- 3) =0 hay 6x + 3y + z – 15= 0

=> a= 3; b= 1; c= -15 nên a+ b+ c= 3+ 1+ (-15) = -11.

Chọn B

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?. Gọi mặt phẳng (P) chứa d₁ và d₂. Tính khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P)?

có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M(0; -2; 3) và có vecto chỉ phương u₁→ (2; 1; 3)

Đường thẳng d₂ đi qua điểm N(2; -3; 3) và có vecto chỉ phương u₂→ (2; -1; 0)

Ta có: [u₁→, u₂→] =( 3; 6; -4); MN^→ ( 2; -1; 0)

Do MN→.[u₁→, u₂→] = 3.2+ 6.(-1) + (-4). 0 = 0 nên đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u₁→, u₁→] = ( 3; 6; -4)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

3( x-0) + 6( y+2) – 4( z-3) = 0 hay 3x+ 6y – 4z+ 24= 0

Khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P) là:

Chọn D.

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u₁^→;u₂^→ lấy M thuộc d; N thuộc d’

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n^→ = [u₁^→; MN^→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng

A. 6x+ 3y+ z-10= 0    B. 6x+ 3y+ z- 15 = 0

C. 6x- 3y+ z- 14= 0    D . Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -1;12) và có vecto chỉ phương u₁→(1; -1; -3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2;3) và có vecto chỉ phương u₂→(1; -1; -3)

Ta có: [u₁→,u₂→] = (0; 0; 0); MN^→(0;3; -9)

Do [u₁→,u₁→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d và d’ song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u₁→,MN→] = (18, 9, 3) = 3( 6; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến (6; 3; 1) và đi qua điểm N (1; 2; 3) là:

6( x – 1)+ 3(y -2) +1(z – 3) = 0 hay 6x + 3y + z - 15 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đường thẳng

A. x+ 3x= 0     B. y+ 3z= 0     C. x+ 3y= 0     D. z= 0

Hướng dẫn giải:

Trục Oz đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u₁→(0; 0; 1).

Đường thẳng d đi qua điểm N (3; -1;5) và có vecto chỉ phương u₂→( 0; 0; 2)

Ta có: [u₁→, u₁→] = (0; 0; 0); ON^→ = (3; -1; 5)

Do [u₁→, u₂→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng Oz và d song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) có một vecto pháp tuyến là

n→ = [u₁→, ON→] = (1; 3; 0)

Phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n→ (1; 3; 0) và đi qua điểm O (0; 0; 0) là: x+ 3y = 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1); B( 0; 4; - 2) và chứa đường thẳng d:

A. 7x + y + 3z+ 2= 0    B. 7x - 6y+ z- 10= 0

C. 7x - y + 3z- 16= 0    D. 7x - y + z + 10= 0

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 0; 1; -1) và có vecto chỉ phương u→( 1; 2; -3).

Vecto AB→ (1; 2; -3); AM→(1; -1; -2)

+ Ta có: [AB→; u→] = (0; 0; 0)

Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa A(-1; 2; 1), nhận vecto n→ = [AM→; u→] = ( - 7; -1; -3) = -( 7; 1;3) làm VTPT

=> Phương trình mặt phẳng (P) :

7( x+ 1) + 1( y-2) + 3( z- 1)= 0 hay 7x+ y + 3z + 2= 0

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi mặt phẳng (P) chứa d1và d2. Biết mặt phẳng (P) có phương trình dạng: x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?

A. 8     B. - 5     C. 12     D. -3

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M( 0;1;2) và có vecto chỉ phương u₁→(2; -3; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N( 1;2; 0) và có vecto chỉ phương u₂→(2; -3; 1)

Ta có: [u₁→; u₂→] =(0; 0; 0); MN^→ (1; 1; -2)

Do [u₁→; u₂→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên (P) có VTPT là

n→ = [u₁→; u₂→] = (5; 5;5) chọn ( 1; 1; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x- 0) + 1( y- 1) + 1( z-2) = 0 hay x + y + z - 3= 0

=> a= 1; b= 1 và c= - 3 nên a.b.c= -3

Chọn D.

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải
• 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải (Phần 2)
• 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải
• 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (phần 2)
• 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---