Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng - phần 2)

Bài viết Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học (19 dạng - phần 2) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học (19 dạng - phần 2).

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d₁

- Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d₂

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Cách 2:

M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂

Vì d // d’ nên MN^→ và u_d→ cùng phương hay MN^→ = k.u_d^→

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ biết

Hướng dẫn giải:

+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁; d₂ và d₃ lần lượt là

u₁→ ( 3; 4; 1) ; u₂→ (1; 2; -1); u₃→ (3; 2; -1)

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là n_P→ = [u₁→; u₃→] =( - 6; 6; -6)

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là n→(1; -1; 1)

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là n_Q→ = [u₂→; u₃→] = ( 0 ; -2; -4)

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (Q) là n→(0; 1; 2)

Một điểm thuộc d₂ là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương là u₁→(1; 2; 3); u₂→(- 1; 3; 2)

Trục Ox có vecto chi phương u_Ox→ (1; 0; 0)

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là = (0; 3; -2)

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là n_Q→ = [u₂→; u_Ox→] = (0; 2; -3)

Một điểm thuộc d₂ là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình tham số của d là:

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d₁: . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

Hướng dẫn giải:

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của ∆ với d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

Do A thuộc d₁ nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; - 1+ 3b)

Vecto AB→( b- 3a + 2; 2b- a- 2; 3b- 2a- 2) là một vecto chỉ phương của ∆.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u_d→( 0; 1; 1) .

+ Do đường thẳng d//∆ nên haii vecto AB→; u_d→ cùng phương

=> có một số k thỏa mãn AB→= k.u_d→

=> Tọa độ A( 2; 3; 3) và B(2; 2; 2)

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm A( 2; 3; 3) và có vectơ chỉ phương AB→(0; -1; -1)

Vậy phương trình của ∆ là

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và d₂; song song với đường thẳng MN.

Hướng dẫn giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( a; 3- 2a; 1- a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 1- b;2+ 2b; - 2) .

=> Vectơ AB→( 1- b- a; 2b+ 2a- 1; a- 3) là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto MN→( -1; - 3; 2) làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là ( -1; - 3; 2)

=> Hai vecto AB→, MN→ cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho: AB^→ = k.MN^→

=> Tọa độ của A (13/5; -11/5; -8/5); B (14/5; -8/5; -2)

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto AB→(1/5; 3/5; -2/5) = 1/5(1;3-2) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

1. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂

- Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P)

- Tìm giao điểm M = d₁ ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)

Cách 2:

Gọi M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂

Vì d là đường vuông góc chung nên

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

Hướng dẫn giải:

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với d₂ có n_P→ = [u₁→; u₂→]= (-12; -10; 8)

Chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là (6; 5; -4)

- Mặt phẳng (Q) chứa d₁ và vuông góc với (P) có n_Q→ = [u₁→; n_P→] = ( -2; 24; 27)

Một điểm thuộc d₁ cũng thuộc (Q) là: (2; -1; 0)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

– 2.(x – 2) + 24.(y + 1) + 27.(z – 0) = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0

- Giao điểm M = d₂ ∩ (Q) có tọa độ là (t; 2t + 1; 4t – 1) thỏa mãn:

– 2.t + 24(2t + 1) + 27(4t – 1) + 28 = 0 => t = -25/154

=> M(-25/154; 52/77; -127/77)

Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P) : (6; 5; -4)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho

M = d ∩ d₁ => M (t; 5-2t; 14-3t)

N = d ∩ d₂ => N (9-4t’; 3+t’; -1+5t’)

=> MN^→( 9- 4t’ – t; - 2+ t’+ 2t; -15 + 5t’ + 3t)

Ta có :

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là (1; -1; 1)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d₁; d₂ là.

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm

Gọi A = d ∩ d₁; B = d ∩ d₂

+ Do A thuộc d₁ nên A( 2+a; 1- a; 2-a)

+ Do B thuộc d₂ nên B( b; 3; - 2+ b)

AB^→( - a+ b – 2; a + 2; a+ b - 4)

+ Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương u₁→( 1; -1; -1)

+ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương u₂→(1; 0; 1)

+ Ta có:

=> A( 2; 1; 2) và B( 3; 3; 1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương AB^→( 1; 2; -1)

Vậy phương trình của d là

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A( -1;1;0); B( 1;3;3); C( 1; 2; 1) và D( 1; 1; 1). Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?

A. ( -3; 0; -1)    B. ( 1; 0; 1)    C. ( -1; 0; 2)    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto AC→( 2 ; 1 ;1) làm vecto chỉ phương nên có phương trình

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto BD→( 0 ; -2 ; -2) làm vecto chỉ phương nên có phương trình

+ M thuộc AC nên M( -1+ 2m;1+ m;m)

+ N thuộc BD nên N( 1; 3- 2n; 3- 2n)

=> MN→ ( 2+ 2m; 2-2n – m; 3- 2n- m)

+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :

=> đường thẳng d cắt AC tại M( - 3; 0;-1)

Chọn A.

1. Phương pháp giải

1. Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng (P)

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương u_d'→( -1; 2; -1)

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là n_P→(1; -1; 1)

- Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có n_Q→ = [u_d'→;n_P→] = ( 1; 0; -1)

Một điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:

Chọn x = t

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Ví dụ 2: : Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết

Hướng dẫn giải:

Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy)

Vậy d’ có phương trình tham số là:

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

Hướng dẫn giải:

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).

Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương u_d→( 4; 3; 1).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n_P→( 3; 5; -1)

=> Mặt phẳng (Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến n→ = [u_d→; n_P→] = ( -8;7; 11)

=> Phuong trình (Q): - 8( x- 12) + 7( y- 9) + 11(z- 1) = 0

Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0

+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).

Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0

Ta có hệ

=> M( 0; 0; - 2)

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; - 2) và có VTCP u_d→= [n_P→; n_Q→] = ( 62; -25; 61)

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?

Hướng dẫn giải:

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :

1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).

Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .

=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P).

Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.

=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó.

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto AB→( -1; 1; 0)

=> Phương trình AB:

Chọn C.

1. Phương pháp giải

Vị trí tương đối giữa đường thẳng d (đi qua M_o và có vectơ chỉ phương u→) và đường thẳng d’ (đi qua M_o' và có vectơ chỉ phương u'→)

- d và d’ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ [u→; u'→].M_oM'_o→ = 0

- d và d’ chéo nhau [u→; u'→].M_oM'_o→ ≠ 0

- d ⊥ d' ⇔ u→.u'→ = 0

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’:

A. Song song    B. Trùng nhau     C. Cắt nhau    D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có u_d→(1; 2; 3) và đi qua M_o ( -1; 1; -2)

Đường thẳng d’ có u'_d→(3; 2; 2) và đi qua M_o' ( 1; 5; 4)

=> M_oM_o'^→ (2; 4; 6) và [u_d→;u'_d→] = (-2; 7; - 4) ≠ 0^→

Ta có: [u_d→;u'_d→].M_oM'_o→ = -2. 2+ 7.4 - 4.6 = 0

Vậy d và d’ cắt nhau..

Chọn C.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

A. Cắt nhau    B. Trùng nhau    C. Chéo nhau    D. Song song

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(1; 1; -1) và đi qua M_o (0; 1; 2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương u'_d→(2; 2; -2)

Nên hai đường thẳng d và d’ song song.

Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

A. a= 2    B. a= -3    C. a= -2    D. a= 4

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là ( 1; a; -1) và (2; 4; -2)

Để d // d’ thì 1/2 = a/4 = -1/-2 => a = 2

Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2; 2) và điểm N không thuộc d.

Vậy d // d’ khi và chỉ khi a = 2

Chọn A.

Ví dụ 4: Xét vị trí tương đối của d và d’ biết và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P) : 2x – 3y – 3z – 9 = 0 và (P’): x – 2y + z + 3 = 0

A. Trùng nhau     B.Song song    C. Cắt nhau    D. Chéo nhau

Hướng dẫn giải:

- Trước hết viết phương trình đường thẳng d’:

Lây điểm M’ (x; y; z) thuộc d’ có tọa độ thỏa mãn hệ:

Chọn z = 0 ta được 1 điểm M’ thuộc d’ là (27; 15; 0)

Vectơ chỉ phương của d’ là u_d'→ = [n_P→; n_P'→] = ( -9; -5; -1)

- đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→( 9; 5; 1) => [u_d→;u_d'→] = 0^→ (1)

Lại có: M' ∈ d (2)

Từ (1) và (2) suy ra, d ≡ d’

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d₁: . Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d₁ cắt d₂?

A. m= 0    B. m= 1    C. m= -2    D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d₁: đi qua A(1; 0; 1) và nhận vecto u₁→( 3; 1; 2) làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d₂: đi qua B(0; -2; -m) và nhận vecto u₂→(1; 2; 1) làm vecto chỉ phương

=> [u₁→; u₂→] = (-3; -1; 5) và AB^→(-1; -2; - m- 1 )

+ Để hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau thì: [u₁→; u₂→]. AB→ = 0

⇔ - 3.( -1) – 1( - 2) + 5( - m- 1) =0

⇔ 3+ 2- 5m- 5= 0 ⇔ 5m= 0 ⇔ m= 0

Chọn A.

1. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d đi qua M_o(x_o; y_o; z_o) và có vectơ chỉ phương (a; b;c) , cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0

Gọi là vectơ pháp tuyến của (P). Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có cách sau:

Cách 1:

Xét tích vô hướng n→.u→ và thay tọa độ điểm M_o vào phương trình của (P) để kiểm tra, ta có các

trường hợp sau:

- n→.u→ = 0 và M_o ∉ (P) nên d song song với (P)

- n→.u→ = 0 và M_o ∈ (P) thì d nằm trong mp(P)

- n→.u→ ≠ 0 thì d cắt (P)

- n→ = k.u→ thì d vuông góc với (P)

Cách 2:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d:

Thay x, y, z ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D = 0 ta được:

A(x_o + at) + B.(y_o+ bt) + C. (z_o+ ct) + D = 0 hay mt + n = 0 ( 1)

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:

- (1) vô nghiệm ⇔ d song song với (P)

- (1) có một nghiệm t = t_o khi d cắt (P) tại điểm M_o( x_o+ a. t_o; y_o+ bt_o; z_o+ t_o. c)

- (1) có vô số nghiệm ⇔ d nằm trong (P)

- (A; B; C) = k (a; b; c) ⇔ d vuông góc với (P)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0

A. Cắt nhau     B. (P) chứa d     C. Song song    D. Vuông góc

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua M_o(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u→(2; 4; 1)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n→(1; 1; 1)

Ta có n→.u→ = 2.1+ 4.1+1.1 = 7

Vậy d cắt (P).

Chọn A.

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: với mặt phẳng (P): x+ 2z – 7 = 0?

A. Cắt nhau    B. Song song     C. (P) chứa d    D.Vuông góc

Hướng dẫn giải:

+ đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 0; -1) và có vecto chỉ phương u→(2; 1; -1)

+ Mặt phẳng (P) c vecto pháp tuyến n→(1; 0; 2)

=> u→. n→ = 2. 1+ 0.1- 1.2= 0 và điểm A không thuộc mặt phẳng (P)

=> Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z – 4= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) thuộc mặt phẳng (Oyz) .

A. m = 2    B. m= -1    C.m= 1    D.m= 3

Hướng dẫn giải:

Ta có: d ∩ (P) = A( x; y; z) .

A thuộc mặt phẳng (Oyz) nên x= 0 => A( 0; y;z)

Lại có; A thuộc ( P) nên: 0- 2y+ 3z- 4= 0

y = 3/2z - 2 nên A(0;3/2z -2 ;z)

+ Do A ∈ d nên:

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ my – 3z + m- 2= 0 và đường thẳng d: . Với giá trị nào của m thì d cắt (P)

A. m ≠ 1/2.    B. m= 1    C. m = 1/2 .    D. m ≠ -1

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→( 2; m; - 3)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→( 4; -1;3)

Đường thẳng d cắt (P) ⇔ n→. u→ ≠ 0

⇔ 2. 4+ m.(- 1) – 3.3 ≠ 0 ⇔ -m-1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

Chọn D

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): m²x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0. Tìm m để d// (P)

Hướng dẫn giải:

Ta có đường thẳng d đi qua M( 2; -3; 1) và có vecto chỉ phương u→(-1; 1; 1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→( m2; -2m; 6- 3m)

Để d song song với (P) thì m²x- 2my + (6- 3m) z- 5= 0.

Chọn A.

1. Phương pháp giải

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: và mặt cầu (S) tâm I(a’; b’; c’) bán kính R. Gọi d= d( I; d) thì:

d > R thì d không cắt (S).

d=R thì d tiếp xúc (S). Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu ( S) ta làm như sau:

Thay x= x_o+ at; y= y_o + bt; z= z_o + ct vào phương trình mặt cầu

=> t= .... => Tọa độ giao điểm.

d < R thì d cắt ( S) tại hai điểm A và B. Để tìm được tọa độ giao điểm ta làm như trên.

* Chú ý: đường thẳng d đí qua A và có vecto chỉ phương u→. Khi đó; khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d là:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho mặt cầu (S): x²+ y² + z²- 2x + 4z+ 1= 0 và đường thẳng d: . Biết có hai giá trị thực của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A; B và các mặt phẳng tiếp diện của ( S) tại A và tại B luôn vuông góc với nhau . Tích của hai giá trị đó bằng

A. 16     B. 12    C.14    D. 10

Hướng dẫn giải:

+ Mặt cầu ( S) có tâm I( 1; 0; -2) và bán kính R= 2

Đường thẳng d qua M(- 1; 0; m) và vtcp u→( 2;0; 2)

+ Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A và B nên IA= IB = R= 2.

Lại có các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau nên IA vuông IB.

> Tam giác IAB vuông cân tại I.

Suy ra d( I; d)= IA.cos45^o = 2.√2/2 = √2

+ Mà IM→(-2; 0; m+ 2); [IM→; u→] =(0; 2m+ 8; 0)

Suy ra m= -2 hoặc m= - 6 và tích cần tìm là ( -2). ( - 6) = 12.

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và và mặt cầu ( S): x²+ y² + z² – 2x+ 4z + 1= 0. Số điểm chung của Δ và ( S) là

A.0    B.1    C.2.    D. 3

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ đi qua M( 0; 1; 2) và có VTCP u→(2;1;-1)

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R= 2.

Ta có MI→(1;-1;-4) và [u→;MI→] = (-5;7;-3)

Vì d(I,Δ) > R nên Δ không cắt mặt cầu (S) .

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu ( S): (x-1)²+ ( y+3)² + ( z- 2)²= 1. Giá trị của m để đường thẳng không cắt mặt cầu ( S) là:

Hướng dẫn giải:

Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); ( 2) và (3) vào ( *) ta được:

⇔ ( t+ 1)² + ( mt+ 4)²+ ( 2t+ 2)² = 1

⇔ t² + 2t+ 1+ m²t² + 8mt+ 16 + 4t² + 8t+ 4- 1= 0

⇔ (m² + 5)t² + 2( 5+ 4m)t+ 20 = 0 ( **)

Để ∆ không cắt mặt cầu ( S) thì (**) vô nghiệm, hay (**) có ∆’ < 0

⇔ ( 5+ 4m)² – 20( m² + 5) < 0

⇔ 25+ 40m+ 16m² – 20m² – 100 < 0

⇔ - 4m² + 40m – 75 < 0

⇔ m > 15/2 hoặc m < 5/2

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S): x² +( y+1)² + (z- 1)² = 4 và đường thẳng d: . Giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu ( S) tại hai điểm phân biệt là:

A. m < 2 hoặc m > 5.    B. m > - 2 hoặc m - 5

C. m= 2 hoặc m = - 5    D. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Giao điểm nếu có của đường thẳng d và mặt cầu ( S) là nghiệm hệ phương trình :

Thay (1); (2) ; (3) vào (*) ta được:

2² + ( 1- t+ 1)² + ( mt- 1)² =4

⇔ 4+ 4 – 4t+ t²+ t + m²t² - 2mt+ 1- 4= 0

⇔ ( m²+ 1)t² – ( 3+ 2m)t+ 5=0 ( **)

Để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ > 0 ⇔ ( 3+ 2m)² – 4. 5.( m² +1) > 0

⇔ 9+ 12m + 4m² – 20m² – 20 > 0

⇔ - 16m² + 12m- 11 > 0 ( vô lí - vì – 16m² + 12m- 11 < 0 với mọi m)

Chọn D.

1. Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)

- Tìm H là giao điểm của d và (P) => H là giao điểm của A trên (P)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d có vecto chi phương u→(1;2; -2).

+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:

1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :

(t-2) + 2(2t+1) – 2(-2t-1) – 3 = 0 ⇔ 9t – 1= 0 ⇔ t = 1/9

Vậy H là hình chiếu của A trên d và H(-17/9; 11/9; -11/9)

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)

A. ( 2; 1; 0)    B. ( - 2;0; 1)    C.(-1; 0; 0)    D. ( 0; 2; 1)

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2 ;- 1; 2).

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình của d là

+ Tìm H là giao điểm của d và (P)

Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:

2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0

⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0

⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t = - 1 nên H ( - 1; 0; 0)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng d: .Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

A. ( 1; 2; 1)     B.( 5; - 3; 4)     C. ( -2; 1;3)     D. ( 1;1;3)

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của d là:

Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d => MH→( 2t – 1; - t; 2t – 8)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→( 2; -1; 2)

H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi MH→.u_d→ = 0

⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0

⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0

⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2

=> Hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; - 3; 4)

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?

A.( 1; 0; - 2)     B. ( -2; 1; 1)    C. ( 1; 2; 3)    D. (- 1; 0; 6)

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương u→( -1; 2; 1)

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng (P):

-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t). Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

- ( - t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0

=> Hình chiếu của M lên d là H ( 0; 0; 2)

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.

=> Tọa độ điểm M’( - 1; 0; 6 )

Chọn D.

1. Phương pháp giải

- Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d: có 2 cách sau:

+ Cách 1. Tìm hình chiếu H của điểm đó đến d => MH là khoảng cách từ A đến d

+ Cách 2. Công thức (với u^→ là vectơ chỉ phương của d và M_o là một điểm thuộc d)

- Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d ( u→ là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M_o) và d’ ( u'^→ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M'_o) ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’

+ Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M'_o đến mặt phẳng (P)

d( d,d’) = d(M'_o; (P))

+ Hoặc dùng công thức:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng

A. 4√5/3    B. 5√5/2    C. 3√5    D.2√5

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua B( 0; 1; -1) và có vectơ chỉ phương u→( 1; 2; -2)

Ta có: AB^→(2; 0; -4); [AB→;u→] = ( 8;0; 4)

Vậy

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d: Tính khoảng cách giữa d và (P)

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n_P→( 3; -2; -1)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(2; 1; 4) và đi qua điểm M_o (1; 7; 3)

Ta có: n_P→. u_d→ = 3.2 -2.1 – 1. 4 = 0 và M_o ∉ (1; 7; 3) (P)

Vậy d // (P)

Chọn D.

Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là u_d→( 2; -1; 0)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là u'_d→( -1; 1; 1).

- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. (P) nhận VTPT là n_P→ = [u_d→; u'_d→] = (-1;-2; 1)

Điểm M_o (1; -1; 1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

- 1(x-1) – 2(y+1) + 1(z-1) = 0 hay x + 2y – z + 2 = 0

- d’ đi qua M'_o (2; -2; 3)

Vậy

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; - 2) và có vecto chỉ phương u₁→( 2;-1; 1)

+ Đường thẳng d’ đi qua B( 2; -1; 2) và có vecto chỉ phương u₂→(0;1; 2)

=> AB→(1; -1; 4); [u₁→; u₂→] =( -3; -4; 2)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d: . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là √2 ?

A. m= -1 hoặc m = -2/3    B. m= - 1 hoặc m = 1/7

C. m = 1 hoặc m= - 1    D. m = 1 hoặc m = 1/7

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 2) và có vecto chỉ phương u→(-1; m; 0)

+ Ta có: AM→(3; 1; 0) và [AM→; u→] = ( 0; 0; 3m+ 1)

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d) = √2

Chọn B.

1. Phương pháp giải

- Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương u→(a; b; c) và u'→(a’; b’; c’)

Góc Φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

- Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u^→(a,b,c) và mặt phẳng (P) có VTPT n→(A; B;C)

Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

A. 30^o     B. 45^o     C. 60^o     D. 90^o

Hướng dẫn giải:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyến là n_P→(1; 2; -1) và n_Q→(2; 0; 3)

d' là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là u_d'→ = ( 6; -5; -4)

Đường thẳng d có vecto chỉ phương n→(3; 2;2)

Cosin góc giữa d và d’ là:

Suy ra, góc giữa d và d’ bằng 90^o.

Chọn D.

Ví dụ 2: Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết d: và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

A. √14/42     B. √14/22     C. √7/42    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u_d→(2; 3; -1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n_P→(2; -1; 2) nên sin góc giữa d và (P) là:

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương AB→(-2;2;0)

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương CD→(1;2;1).

=> Cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là √5/5

A. m = 2    B. m = - 4    C. m = -1/2    D. m = 1/4

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương u₁→(0; - 1; 2)

Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương u₂→(1; m; -1)

Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho là:

Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là

⇔ m² + 4m+ 4 = m² + 2 ⇔ 4m = - 2 ⇔ m =-1/2

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là 1/3√3 ?

A. m= ±1     B.m= ±2     C. m= 0     D. m = ±3

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→(-2; 1; - 2)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(1; m;-1)

Do đó, sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Theo giả thiết ta có:

⇔ 3m²= m² + 2 ⇔ 2m² = 2 ⇔ m² = 1 ⇔ m= ±1

Chọn A.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong không gian trong đề thi Đại học có lời giải
• 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải
• 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải (Phần 2)
• 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải
• 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

---