Bài 5 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Bài 5 trang 85 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

a) ∆ABC ᔕ ∆HBA và AB² = BC.BH;

b) ∆ABC ᔕ ∆HAC và AC² = BC.CH;

c) ∆ABH ᔕ ∆CAH và AH² = BH.CH;

d) $\frac{1}{{AH}^{2}} = \frac{1}{{AB}^{2}} + \frac{1}{{AC}^{2}} .$

Lời giải:

a) Do tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH nên AH ⊥ BC

Do đó $\hat{BAC} = \hat{AHB} = \hat{AHC} = 90 °$

Xét ∆ABC và ∆HBA có:

$\hat{BAC} = \hat{AHB} = 90 °;$ $\hat{A}$ là góc chung

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g).

Do đó $\frac{AB}{HB} = \frac{BC}{BA}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên AB² = BC.BH.

b) Xét ∆ABC và ∆HAC có:

$\hat{BAC} = \hat{AHC} = 90 °;$ $\hat{C}$ là góc chung

Suy ra∆ABC ᔕ ∆HAC (g.g).

Do đó $\frac{AC}{HC} = \frac{BC}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên AC² = BC.CH.

c) Do ∆HBA ᔕ ∆ABC (do ∆ABC ᔕ ∆HBA (câu a)) và ∆ABC ᔕ ∆HAC (câu b)

Suy ra ∆HBAᔕ ∆HAC

Hay ∆ABH ᔕ ∆CAH

Suy ra $\frac{AH}{CH} = \frac{BH}{AH}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên AH² = BH.CH.

d) Ta có $\frac{1}{{AC}^{2}} + \frac{1}{{AB}^{2}} = \frac{1}{BC \cdot CH} + \frac{1}{BC \cdot BH}$

$= \frac{BH}{BC \cdot BH \cdot CH} + \frac{CH}{BC \cdot BH \cdot CH}$

$= \frac{BH + CH}{BC \cdot BH \cdot CH} = \frac{BC}{BC \cdot BH \cdot CH}$

$= \frac{1}{BH \cdot CH} = \frac{1}{{AH}^{2}} .$

Vậy $\frac{1}{{AH}^{2}} = \frac{1}{{AB}^{2}} + \frac{1}{{AC}^{2}} .$

Lời giải bài tập Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác