Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Tập 2: Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) AI < $\frac{1}{2}$ (AB + AC);

b) AM < $\frac{1}{2}$ (AB + AC).

Lời giải:

Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 7

a) ∆AIB vuông tại I nên AB là cạnh huyền.

Do đó AB > AI (1).

∆AIC vuông tại I nên AC là cạnh huyền.

Do đó AC > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có 2AI < AB + AC hay AI < $\frac{1}{2}$ (AB + AC).

b) Từ B kẻ BN song song với AC sao cho BN = AC.

Do BN // AC nên $\hat{N B M} = \hat{A C M}$ (2 góc so le trong).

Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm của BC.

M là trung điểm của BC nên BM = CM.

Xét ∆NBM và ∆ACM có:

BM = CM (chứng minh trên).

$\hat{N B M} = \hat{A C M}$ (chứng minh trên).

BN = CA (giả thiết).

Suy ra ∆NBM = ∆ACM (c - g - c).

Suy ra AM = MN (2 cạnh tương ứng) và $\hat{N M B} = \hat{A M C}$ (2 góc tương ứng).

Do $\hat{N M B} = \hat{A M C}$ nên $\hat{N M B} + \hat{A M B} = \hat{A M C} + \hat{A M B}$ hay $\hat{N M A} = \hat{B M C} = 180 °$ .

Suy ra A, M, N thẳng hàng.

Lại có AM = MN nên M là trung điểm của AN suy ra AN = 2AM.

Xét ∆ABN có AB + BN > AN hay AB + BN > 2AM.

Mà BN = AC nên AB + AC > 2AM.

Do đó AM < $\frac{1}{2}$ (AB + AC).

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 9 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 7 Kết nối tri thức khác