Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2: Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S₀, S₁ và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.

Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{b}$

Khi đó $\frac{S (x)}{S_{1}} = \frac{x^{2}}{b^{2}} \Rightarrow S (x) = \frac{x^{2}}{b^{2}} . S_{1}$

Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{x^{2}}{b^{2}} S_{1} d x = {\frac{S_{1}}{b^{2}} . \frac{x^{3}}{3}|}_{a}^{b}$ $= \frac{S_{1}}{3 b^{2}} (b^{3} - a^{3})$

$= \frac{b - a}{3 b^{2}} . (S_{1} b^{2} + S_{1} a b + S_{1} a^{2})$ $= \frac{h}{3} . [S_{1} + S_{1} \frac{a}{b} + S_{1} {(\frac{a}{b})}^{2}]$

Vì $\frac{S_{0}}{S_{1}} = {(\frac{a}{b})}^{2} \Rightarrow S_{0} = S_{1} . {(\frac{a}{b})}^{2}$ ; $S_{0} S_{1} = S_{1}^{2} . {(\frac{a}{b})}^{2}$ $\Rightarrow \sqrt{S_{0} S_{1}} = S_{1} . \frac{a}{b}$

Do đó $V = \frac{h}{3} . [S_{1} + \sqrt{S_{1} . S_{0}} + S_{0}]$

Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S₀ = 0.

Do đó thể tích khối chóp đều là $V = \frac{1}{3} . S . h$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác