Giải Toán 12 trang 69 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 69 Tập 2 trong Bài 18: Xác suất có điều kiện Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 69.

Luyện tập 4 trang 69 Toán 12 Tập 2: Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Lời giải:

a) Gọi C là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”;

D là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.

Ta cần tính P(CD).

Vì n(C) = 7 nên P(C) = $\frac{7}{12}$ .

Nếu C xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp còn lại 11 bút bi với 6 bút bi xanh và 5 bút bi đen. Do đó, P(D | C) = $\frac{5}{11}$ .

Theo công thức nhân xác suất: P(CD) = P(C) ∙ P(D | C) = $\frac{7}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{35}{132} .$

b) Tương tự như câu a), ta tính được:

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu đen là: P(ĐĐ) = $\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = \frac{20}{132}$ ;

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu xanh là: P(XX) = $\frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{42}{132}$ .

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu là: $\frac{20}{132} + \frac{42}{132} = \frac{62}{132} = \frac{31}{66}$

Vận dụng trang 69 Toán 12 Tập 2: Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu E₁; E₂; E₃ tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: P(E₁ | H) và P(E₂ | H).

a) Chứng minh rằng:

● P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = $\frac{1}{3}$ ;

● P(H | E₁) = $\frac{1}{2}$ và P(H | E₂) = 1.

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

● P(E₁ | H) = $\frac{P (E_{1}) \cdot P (H | E_{1})}{P (H)}$ ;

● P(E₂ | H) = $\frac{P (E_{2}) \cdot P (H | E_{2})}{P (H)}$ .

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:

P(E₂ | H) = 2P(E₁ | H).

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Hướng dẫn: Nếu E₁ xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy P(H | E₁) = $\frac{1}{2}$ .

Nếu E₂ xảy ra, tức là sau cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó, P(H | E₂) = 1.

Lời giải:

+ Trước khi người chủ trò mở cánh cửa số 3 thì ba biến cố $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ là đồng khả năng.

Do đó P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = $\frac{1}{3}$ .

+ Xét P(H | E₁): Nếu E₁ xảy ra, tức là sau ô cửa số 1 có ô tô: Khi đó sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn mở cửa số 2 hay số 3 với xác suất như nhau.

Do đó P(H | E₁) = $\frac{1}{2}$ .

+ Xét P(H | E₂): Nếu E₂ xảy ra tức là sau ô cửa số 2 có ô tô: Khi đó chủ trò chắc chắn phải mở cửa số 3 và thấy con lừa. Do đó P(H | E₂) = 1.

b) Theo công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất ta có

P(E₁ | H) = $\frac{P (E_{1} H)}{P (H)}$ = $\frac{P (E_{1}) \cdot P (H | E_{1})}{P (H)}$ (1);

P(E₂ | H) = $\frac{P (E_{2} H)}{P (H)}$ = $\frac{P (E_{2}) \cdot P (H | E_{2})}{P (H)}$ (2).

c) Từ (1), (2) và a) suy ra

$\frac{P (E_{2} | H)}{P (E_{1} | H)} = \frac{P (E_{2}) \cdot P (H | E_{2})}{P (E_{1}) \cdot P (H | E_{1})} = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 2$ .

Vậy P(E₂ | H) = 2P(E₁ | H).

Người chơi nên chuyển sang cửa số 2. Bởi vì với điều kiện H “người quản trò mở cửa số 3 ở đó không có ô tô” thì xác suất để cửa số 2 có ô tô gấp đôi xác suất để cửa số 1 có ô tô.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác