Giải Toán 12 trang 42 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 42 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 4 Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 42.

Bài 1 trang 42 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2x + e^x. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên ℝ sao cho F(0) = 2 023 là:

A. x² + e^x + 2 023.

B. x² + e^x + C.

C. x² + e^x + 2 022.

D. x² + e^x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int \left(2x+e^x\right)dx=x^2+e^x+C$.

Suy ra F(x) = x² + e^x + C.

Mà F(0) = 2 023 nên 0² + e⁰ + C = 2 023, suy ra C = 2 022.

Vậy F(x) = x² + e^x + 2 022.

Bài 2 trang 42 Toán 12 Tập 2: Biết F(x) = x³ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Giá trị của $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[2+f\left(x\right)\right]dx$ bằng:

A. $\frac{23}{4}$.

B. 7.

C. 9.

D. $\frac{15}{4}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có f(x) = F'(x) = (x³)' = 3x².

Khi đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[2+f\left(x\right)\right]dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2+3x^2\right)dx={\left.\left(2x+x^3\right)\right|}_1^2$= (2 ∙ 2 + 2³) – (2 ∙ 1 + 1³) = 9.

Bài 3 trang 42 Toán 12 Tập 2: Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+2x\right]dx=2$. Khi đó, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+2x\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx$.

Lại có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx={\left.x^2\right|}_0^1=1^2-0^2=1$ . Mà $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+2x\right]dx=2$ .

Do đó, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+1=2$. Suy ra $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=1$

Bài 4 trang 42 Toán 12 Tập 2: Tìm:

Lời giải:

Bài 5 trang 42 Toán 12 Tập 2: a) Cho hàm số f(x) = x² + e^{– x}. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên ℝ sao cho F(0) = 2 023.

b) Cho hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ (x > 0). Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng (0; + ∞) sao cho G(1) = 2 023.

Lời giải:

a) Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int \left(x^2+e^{-x}\right)dx=\frac{x^3}{3}-e^{-x}+C$.

Suy ra $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-e^{-x}+C$.

Mà F(0) = 2 023 nên $\frac{0^3}{3}-e^{-0}+C=2023$, suy ra C = 2 024.

Vậy $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-e^{-x}+2024$.

b) Ta có $\int g\left(x\right)dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C=\ln x+C$ (do x > 0).

Suy ra G(x) = ln x + C.

Mà G(1) = 2 023 nên ln 1 + C = 2 023, suy ra C = 2 023.

Vậy G(x) = ln x + 2 023.

Bài 6 trang 42 Toán 12 Tập 2: Tính:

Lời giải:

Bài 7 trang 42 Toán 12 Tập 2: Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm t là h(t), trong đó t tính bằng phút, h(t) tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số

v(t) = – 0,12t² + 1,2t,

với t tính bằng phút, v(t) tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát (t = 0), khinh khí cầu ở độ cao 520 m và 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao 530 m.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)

a) Viết công thức xác định hàm số h(t) (0 ≤ t ≤ 29).

b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là bao nhiêu?

c) Khi nào khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát?

Lời giải:

a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Ta có $\int v\left(t\right)dt=\int \left(-0,12t^2+1,2t\right)dt=-0,04t^3+0,6t^2+C$.

Suy ra h(t) = – 0,04t³ + 0,6t² + C.

Vì với t = 0 thì h = 520, tức là h(0) = 520, suy ra C = 520.

Vậy h(t) = – 0,04t³ + 0,6t² + 520 (0 ≤ t ≤ 29).

b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay chính là giá trị lớn nhất của hàm số h(t) trên đoạn [0; 29].

Ta có h'(t) = v(t) = – 0,12t² + 1,2t.

Trên khoảng (0; 29), h'(t) = 0 khi t = 10.

h(0) = 520, h(10) = 540, h(29) = 49,04.

Suy ra $\underset{\left[0;29\right]}{\max }h\left(t\right)=540$ tại t = 10.

Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m.

c) Khinh khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát khi h(t) = 520, tức là

– 0,04t³ + 0,6t² + 520 = 520 ⇔ 0,04t³ – 0,6t² = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 15.

Với t = 0, tức là tại thời điểm xuất phát.

Với t = 15 ∈ [0; 29], thỏa mãn.

Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 43
• Giải Toán 12 trang 44

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---