Giải Toán 11 trang 92 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 11 trang 92 Tập 2 trong Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 92.

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức $\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ với x$\ne$k$\pi$ (k$\in \mathbb{Z}$, tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Lời giải:

a) Ta có

y' = (tanx)' = ${\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{(\sin x{)}^{\text{'}}.\cos x-\sin x.(\cos x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

b) Ta có

$y^{\text{'}}=(\cot x{)}^{\text{'}}={\left(\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$.

Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=2{\tan }^{2}x+3\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$ .

Lời giải:

Ta có:

$=2.2\tan x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}+3.\frac{-(-2)}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$

$=\frac{4\tan x}{{\cos }^{2}x}+\frac{6}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$.

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos$\left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$ (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có:

v(t) = s'(t) =4 = $-4.2\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$.

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

$v\left(5\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi .5-\frac{\pi }{8}\right)\approx 9,6$ (m/s).

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = $\frac{1}{x}$ , tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ .

b) Với $y={\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ , tính ln y và tìm giới hạn của $\underset{x\to 0}{\lim }\ln y$ .

c) Đặt t = e^x – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$ .

Lời giải:

a)

Ta có: t = $\frac{1}{x}$ , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$.

b) Với $y={\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ , ta có:

ln y $=\ln {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\ln \left(1+x\right)$ .

Khi đó, $\underset{x\to 0}{\lim }\ln y=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ .

c)

t = e^x – 1 ⇔ e^x = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln \left(t+1\right)}=1$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay khác:

• Giải Toán 11 trang 88

• Giải Toán 11 trang 90

• Giải Toán 11 trang 91

• Giải Toán 11 trang 93

• Giải Toán 11 trang 94

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

• Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

• Toán 11 Bài tập cuối chương 9

• Toán 11 Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Toán 11 Hoạt động thực hành trải nghiệm Hình học

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---