Giải Toán 11 trang 106 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 106 Tập 1 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 106.

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{3.2}^{n} - 1}{2^{n}}$ . Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ .

Lời giải:

Ta có: $u_{n} - 3 = \frac{{3.2}^{n} - 1}{2^{n}} - 3 = \frac{({3.2}^{n} - 1) - {3.2}^{n}}{2^{n}} = - \frac{1}{2^{n}} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vây, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ .

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Lời giải:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là u₁ = $\frac{2}{3} \cdot 5$ .

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_{2} = \frac{2}{3} u_{1} = \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5) = 5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2}$ .

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_{3} = \frac{2}{3} u_{2} = \frac{2}{3} \cdot (5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2}) = 5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{3}$ và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là $u_{n} = 5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

Ta có: $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{2}{3})}^{n} = 0$ , do đó, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ , suy ra điều phải chứng minh.

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}, v_{n} = 3 - \frac{2}{n}$ .

Tính và so sánh: $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n})$ và $\lim_{n \to + \infty} u_{n} + \lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .

Lời giải:

+) Ta có: $u_{n} + v_{n} = (2 + \frac{1}{n}) + (3 - \frac{2}{n}) = 5 - \frac{1}{n}$ .

Lại có $(u_{n} + v_{n}) - 5 = (5 - \frac{1}{n}) - 5 = - \frac{1}{n} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vậy, $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n}) = 5$ .

+) Ta có: $u_{n} - 2 = (2 + \frac{1}{n}) - 2 = \frac{1}{n} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vậy, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ .

Và $v_{n} - 3 = (3 - \frac{2}{n}) - 3 = - \frac{2}{n} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vây, $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ .

Khi đó, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} + \lim_{n \to + \infty} v_{n}$ = 2 + 3 = 5 = $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n})$ .

Vậy $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n})$ = $\lim_{n \to + \infty} u_{n} + \lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác