Giải Toán 11 trang 106 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 106 Tập 1 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số Toán lớp 11 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 106.

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{3.2}^{n} - 1}{2^{n}}$ . Chứng minh rằng $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ .

Lời giải:

Ta có: $u_{n} - 3 = \frac{{3.2}^{n} - 1}{2^{n}} - 3 = \frac{({3.2}^{n} - 1) - {3.2}^{n}}{2^{n}} = - \frac{1}{2^{n}} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vây, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ .

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Lời giải:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là u₁ = $\frac{2}{3} \cdot 5$ .

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_{2} = \frac{2}{3} u_{1} = \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5) = 5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2}$ .

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_{3} = \frac{2}{3} u_{2} = \frac{2}{3} \cdot (5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2}) = 5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{3}$ và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là $u_{n} = 5 \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

Ta có: $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{2}{3})}^{n} = 0$ , do đó, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ , suy ra điều phải chứng minh.

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}, v_{n} = 3 - \frac{2}{n}$ .

Tính và so sánh: $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n})$ và $\lim_{n \to + \infty} u_{n} + \lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .

Lời giải:

+) Ta có: $u_{n} + v_{n} = (2 + \frac{1}{n}) + (3 - \frac{2}{n}) = 5 - \frac{1}{n}$ .

Lại có $(u_{n} + v_{n}) - 5 = (5 - \frac{1}{n}) - 5 = - \frac{1}{n} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vậy, $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n}) = 5$ .

+) Ta có: $u_{n} - 2 = (2 + \frac{1}{n}) - 2 = \frac{1}{n} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vậy, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ .

Và $v_{n} - 3 = (3 - \frac{2}{n}) - 3 = - \frac{2}{n} \to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vây, $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ .

Khi đó, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} + \lim_{n \to + \infty} v_{n}$ = 2 + 3 = 5 = $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n})$ .

Vậy $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n})$ = $\lim_{n \to + \infty} u_{n} + \lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác