Bài 1 trang 81 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải sgk Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 1 trang 81 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo, $\hat{ABC} = 60 °, SO ⊥ (ABCD),$ $SO = a \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).

Lời giải:

Bài 1 trang 81 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Kẻ OI ⊥ CD, OH ⊥ SI

Ta có: $\{\begin{cases} SO ⊥ (ABCD) \\ OI ⊥ CD \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} CD ⊥ SO \\ OI ⊥ CD \end{cases} \Rightarrow CD ⊥ (SOI) \Rightarrow CD ⊥ OH$

Mà OH ⊥ SI Suy ra OH ⊥ (SCD)

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Ta có: ΔABC đều $\Rightarrow$ AC = a $\Rightarrow OC = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$

• Xét ΔABD, áp dụng định lí cos, ta có:

$BD = \sqrt{{AB}^{2} + {AD}^{2} - 2 . AB . AD . \cos \hat{BAD}} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow OD = \frac{1}{2} BD = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

• Xét ΔOCD vuông tại O có OI là đường cao:

$\frac{1}{{OI}^{2}} = \frac{1}{{OC}^{2}} + \frac{1}{{OD}^{2}} \Rightarrow OI = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

Ta có SO ⊥ (ABCD) $\Rightarrow$ SO ⊥ OI

Do đó, tam giác SOI vuông tại O có OH là đường cao nên

$\frac{1}{{OH}^{2}} = \frac{1}{{SO}^{2}} + \frac{1}{{OI}^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a \sqrt{51}}{17}$

$\Rightarrow d (O, (SCD)) = \frac{a \sqrt{51}}{17} .$

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là $\frac{a \sqrt{51}}{17}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian:

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Xem lời giải

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác