Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC)).

Lời giải:

Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Xét ∆SAB có: M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN là đường trung bình của ∆SAB. Do đó MN // AB.

Hơn nữa AB ⊂ (ABC) nên MN // (ABC).

Suy ra d(MN, (ABC)) = d(M, (ABC)).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) hay SH ⊥ (ABC).

Trong (SAH) kẻ MK // SH (K ∈ AH).

Mà SH ⊥ (ABC) suy ra MK ⊥ (ABC).

Khi đó, d(M, (ABC)) = MK.

Vì SH ⊥ (ABC) nên HA là hình chiếu của SA trên (ABC).

Suy ra góc góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng $\hat{S A H} = 60 ° .$

Ta có: SH ⊥ (ABC) và AH ⊂ (ABC) nên SH ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại H (do SH ⊥ AH) có:

⦁ $\sin \hat{S A H} = \frac{S H}{S A},$ suy ra $S H = S A . \sin \hat{S A H} = a . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

⦁ M là trung điểm của SA và MK // SH nên K là trung điểm của AH, do đó MK là đường trung bình của ∆SAH.

Suy ra $M K = \frac{1}{2} S H = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Vậy $d (M N, (A B C)) = d (M, (A B C)) = M K = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Khoảng cách hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác