Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = s i n (x + Δ x) - s i n x = 2 c o s (x + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2}$

Suy ra $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2 c o s (x + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2}}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} (c o s (x + \frac{Δ x}{2}) \cdot \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}})$

$= \lim_{Δ x \to 0} c o s (x + \frac{Δ x}{2}) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}}$

$= \lim_{Δ x \to 0} c o s (x + \frac{Δ x}{2}) \cdot \lim_{\frac{Δ x}{2} \to 0} \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}}$

$= c o s (x + \frac{0}{2}) \cdot 1 = \cos x .$

Vậy đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì là y’ = cosx.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác