Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi α là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Lời giải:

Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC).

Vì SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Ta có: AH ⊥ BC, SA ⊥ BC và AH ∩ SA = A trong (SAH).

Suy ra BC ⊥ (SAH).

Mà SH ⊂ (SAH) nên BC ⊥ SH.

Ta có: AH ⊥ BC, SH ⊥ BC và AH ∩ SH = H ∈ BC.

Suy ra $\hat{S H A}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S], tức $\hat{S H A} = α .$

Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Vì SA ⊥ (ABC) và AH ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A (do SA ⊥ AH) có:

$\cos α = \cos \hat{S H A} = \frac{A H}{S H} .$

Diện tích tam giác ABC (có AH ⊥ BC) là: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C .$

Diện tích tam giác SBC (có SH ⊥ BC) là: $S_{Δ S B C} = \frac{1}{2} S H . B C .$

$\Rightarrow \frac{S_{Δ A B C}}{S_{Δ S B C}} = \frac{\frac{1}{2} A H . B C}{\frac{1}{2} S H . B C} = \frac{A H}{S H} = \cos \hat{S H A} = \cos α .$

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác