Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Bài 2 trang 63 Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 0.

Ta có ∆y = f(0 + ∆x) – f(0) = |∆x| – |0| = |∆x|.

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{|Δ x|}{Δ x} .$

Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{|Δ x|}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{+}} 1 = 1$ >

$\lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{|Δ x|}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{- Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0^{-}} (- 1) = - 1$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{Δ y}{Δ x} \neq \lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{Δ y}{Δ x}$ nên không tồn tại $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0.

Ta có hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x k h i x > 0 \\ 0 k h i x = 0 \\ - x k h i x < 0 \end{cases}$

⦁ Với x > 0 ta có hàm số f(x) = x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x > 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x) – x = ∆x.

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ x}{Δ x} = 1$

Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} 1 = 1$

Do đó với x > 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = 1.

⦁ Với x < 0 ta có hàm số f(x) = –x.

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x < 0.

Ta có ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = – (x + ∆x) + x = –∆x.

Suy ra $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{- Δ x}{Δ x} = - 1$

Ta thấy $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (- 1) = - 1$

Do đó với x < 0 thì hàm số có đạo hàm f’(x) = –1.

Vậy hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại x₀= 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác