Giải Toán 10 trang 51 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 51 Tập 2 trong Bài 22: Ba đường conic Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 51.

Luyện tập 3 trang 51 Toán 10 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25)

Lời giải:

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD.

Vì M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD nên AM = BM = $\frac{1}{2}$ AB và CN = DN = $\frac{1}{2}$ CD.

Do đó ta có: BM = CN = AM = DN (*).

Khi đó BM // = ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra BN = MD (1).

Tương tự AN = CM (2).

Hơn nữa ta chứng minh được BMNC là hình chữ nhật nên hai đường chéo BN và MC bằng nhau hay BN = MC (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: BN = CM = AN = DM (**).

Vậy A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

HĐ4 trang 51 Toán 10 Tập 2: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

$|\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}| = 2 a$ . (3)

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa

Lời giải:

+) Vì F₁F₂= 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂.

Do đó ta có: F₁O = F₂O = 2c : 2 = c.

Quan sát hình ta thấy, điểm F₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F₁(– c; 0).

Điểm F₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F₂(c; 0).

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

+) Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh:

$|\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}| = 2 a$ .

Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF₁– MF₂|= 2a.

Lại có: MF₁ = $\sqrt{{(x - (- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}}$ ;

MF₂ = $\sqrt{{(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}$ .

⇒ |MF₁– MF₂| = $|\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}| = 2 a$ .

Vậy $|\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}| = 2 a$ .

+) Giả sử $|\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}| = 2 a$ , ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H).

Thật vậy: $|\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}| = 2 a$ nên: |MF₁– MF₂|= 2a.

Vậy M thuộc hypebol (H).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác