Giải Toán 10 trang 34 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 34 Tập 2 trong Bài 19: Phương trình đường thẳng Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 34.

Vận dụng trang 34 Toán 10 Tập 2: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau:

Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F;

Nước sôi ở 100 °C, 212 °F.

Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).

Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F

Lời giải:

Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212).

Ta có: $\vec{A B} = (100 - 0; 212 - 32) = (100; 180)$ .

Chọn $\vec{u} = \frac{1}{20} \vec{A B} = (5; 9)$ là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} (9; - 5)$ .

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là

9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 hay 9x – 5y + 160 = 0.

Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100.

Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 9x – 5 . 0 + 160 = 0 ⇔ 9x = – 160 ⇔ x = $- \frac{160}{9}$ .

Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 9x – 5 . 100 + 160 = 0 ⇔ 9x = 340 ⇔ x = $\frac{340}{9}$ .

Vậy 0 °F tương ứng với $- \frac{160}{9}$ °C và 100 °F tương ứng với $\frac{340}{9}$ °C.

Bài 7.1 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\vec{n} = (2; 1), \vec{v} = (3; 2), A (1; 3), B (- 2; 1)$ .

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ .

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1)$ , do đó phương trình tổng quát của ∆₁ là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0.

b) Đường thẳng ∆₂ đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (3; 2)$ , do đó phương trình tham số của ∆₂ là $\{\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 1 + 2 t \end{cases}$ .

c) Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\vec{A B} = (- 2 - 1; 1 - 3) = (- 3; - 2)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 3 - 2 t \end{cases}$ .

Bài 7.2 trang 34 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa độ.

Lời giải:

Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là $\vec{i} (1; 0)$ và $\vec{j} (0; 1)$ . Mỗi vectơ đơn vị chính là 1 vectơ chỉ phương của mỗi trục.

Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ $\vec{j} (0; 1)$ chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia.

Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là: 0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 hay y = 0.

Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ $\vec{i} (1; 0)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là: 1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 hay x = 0.

Bài 7.3 trang 34 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$ và ∆₂: 2x + 3y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tổng quát của ∆₁.

b) lập phương trình tham số của ∆₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$ , do đó đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1} = (2; 5)$ .

Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁ là ${\vec{n}}_{1} = (5; - 2)$ .

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ là 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0.

b) Đường thẳng ∆₂ có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{2} = (2; 3)$ .

Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆₂ là ${\vec{u}}_{2} = (3; - 2)$ .

Ta lấy điểm B(1; 1) thuộc ∆₂ (do 2 . 1 + 3 . 1 – 5 = 0).

Khi đó đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(1; 1) và nhận ${\vec{u}}_{2} = (3; - 2)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của ∆₂ là $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$ .

Bài 7.4 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B C} = (- 2 - 3; - 1 - 0) = (- 5; - 1)$ .

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ $\vec{B C}$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là

$\{\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{1 + (- 2)}{2} = \frac{- 1}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{2 + (- 1)}{2} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Hay M $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM.

Ta có: $\vec{B M} = (- \frac{1}{2} - 3; \frac{1}{2} - 0) = (- \frac{7}{2}; \frac{1}{2})$ .

Chọn $\vec{u} = 2 \vec{B M} = (- 7; 1)$ .

Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 7; 1)$ , do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là $\{\begin{cases} x = 3 - 7 t \\ y = t \end{cases}$ .

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 Tập 2: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .

(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng). Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b)

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (0 - a; b - 0) = (- a; b)$ .

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (- a; b)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (b; a)$ .

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0 (1).

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được:

$\frac{b x}{a b} + \frac{a y}{a b} - \frac{a b}{a b} = \frac{0}{a b}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$

. $\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .

Bài 7.6 trang 34 Toán 10 Tập 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí đó có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức

$\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} t \end{cases}$

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa?

Lời giải:

a) Tại sân bay Nội Bài, máy bay bắt đầu bay ứng với thời gian t = 0.

Tọa độ của sân bay Đà Nẵng thỏa mãn hệ $\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} t \end{cases}$ .

Do đó, thời gian máy bay bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là nghiệm t của hệ $\{\begin{cases} 16,1 = 21,2 - \frac{153}{40} t (1) \\ 108,2 = 105,8 + \frac{9}{5} t (2) \end{cases}$ .

Từ (1) suy ra t = $\frac{4}{3}$ .

Từ (2) suy ra t = $\frac{4}{3}$ .

Do đó t = $\frac{4}{3}$ là nghiệm của hệ trên.

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\frac{4}{3}$ giờ.

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, nghĩa là t = 1, thay vào hệ $\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} t \end{cases}$ ta được: $\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} .1 \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} .1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 17,375 \\ y = 107,6 \end{cases}$ .

Do đó tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đang ở vị trí có 17,375° Bắc và có kinh độ 107,6° Đông.

Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc).

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác