Giải Toán 10 trang 34 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 34 Tập 2 trong Bài 19: Phương trình đường thẳng Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 34.

Vận dụng trang 34 Toán 10 Tập 2: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau:

Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F;

Nước sôi ở 100 °C, 212 °F.

Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).

Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F

Lời giải:

Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212).

Ta có: $\vec{A B} = (100 - 0; 212 - 32) = (100; 180)$ .

Chọn $\vec{u} = \frac{1}{20} \vec{A B} = (5; 9)$ là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} (9; - 5)$ .

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là

9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 hay 9x – 5y + 160 = 0.

Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100.

Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 9x – 5 . 0 + 160 = 0 ⇔ 9x = – 160 ⇔ x = $- \frac{160}{9}$ .

Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 9x – 5 . 100 + 160 = 0 ⇔ 9x = 340 ⇔ x = $\frac{340}{9}$ .

Vậy 0 °F tương ứng với $- \frac{160}{9}$ °C và 100 °F tương ứng với $\frac{340}{9}$ °C.

Bài 7.1 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\vec{n} = (2; 1), \vec{v} = (3; 2), A (1; 3), B (- 2; 1)$ .

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ .

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 1)$ , do đó phương trình tổng quát của ∆₁ là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0.

b) Đường thẳng ∆₂ đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (3; 2)$ , do đó phương trình tham số của ∆₂ là $\{\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 1 + 2 t \end{cases}$ .

c) Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\vec{A B} = (- 2 - 1; 1 - 3) = (- 3; - 2)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 3 - 2 t \end{cases}$ .

Bài 7.2 trang 34 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa độ.

Lời giải:

Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là $\vec{i} (1; 0)$ và $\vec{j} (0; 1)$ . Mỗi vectơ đơn vị chính là 1 vectơ chỉ phương của mỗi trục.

Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ $\vec{j} (0; 1)$ chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia.

Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là: 0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 hay y = 0.

Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ $\vec{i} (1; 0)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là: 1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 hay x = 0.

Bài 7.3 trang 34 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$ và ∆₂: 2x + 3y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tổng quát của ∆₁.

b) lập phương trình tham số của ∆₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$ , do đó đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1} = (2; 5)$ .

Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁ là ${\vec{n}}_{1} = (5; - 2)$ .

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ là 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0.

b) Đường thẳng ∆₂ có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{2} = (2; 3)$ .

Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆₂ là ${\vec{u}}_{2} = (3; - 2)$ .

Ta lấy điểm B(1; 1) thuộc ∆₂ (do 2 . 1 + 3 . 1 – 5 = 0).

Khi đó đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(1; 1) và nhận ${\vec{u}}_{2} = (3; - 2)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của ∆₂ là $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$ .

Bài 7.4 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B C} = (- 2 - 3; - 1 - 0) = (- 5; - 1)$ .

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ $\vec{B C}$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là

$\{\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{1 + (- 2)}{2} = \frac{- 1}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{2 + (- 1)}{2} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Hay M $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM.

Ta có: $\vec{B M} = (- \frac{1}{2} - 3; \frac{1}{2} - 0) = (- \frac{7}{2}; \frac{1}{2})$ .

Chọn $\vec{u} = 2 \vec{B M} = (- 7; 1)$ .

Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 7; 1)$ , do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là $\{\begin{cases} x = 3 - 7 t \\ y = t \end{cases}$ .

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 Tập 2: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .

(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng). Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b)

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (0 - a; b - 0) = (- a; b)$ .

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (- a; b)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (b; a)$ .

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0 (1).

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được:

$\frac{b x}{a b} + \frac{a y}{a b} - \frac{a b}{a b} = \frac{0}{a b}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$

. $\Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .

Bài 7.6 trang 34 Toán 10 Tập 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí đó có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức

$\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} t \end{cases}$

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa?

Lời giải:

a) Tại sân bay Nội Bài, máy bay bắt đầu bay ứng với thời gian t = 0.

Tọa độ của sân bay Đà Nẵng thỏa mãn hệ $\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} t \end{cases}$ .

Do đó, thời gian máy bay bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là nghiệm t của hệ $\{\begin{cases} 16,1 = 21,2 - \frac{153}{40} t (1) \\ 108,2 = 105,8 + \frac{9}{5} t (2) \end{cases}$ .

Từ (1) suy ra t = $\frac{4}{3}$ .

Từ (2) suy ra t = $\frac{4}{3}$ .

Do đó t = $\frac{4}{3}$ là nghiệm của hệ trên.

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\frac{4}{3}$ giờ.

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, nghĩa là t = 1, thay vào hệ $\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} t \end{cases}$ ta được: $\{\begin{cases} x = 21,2 - \frac{153}{40} .1 \\ y = 105,8 + \frac{9}{5} .1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 17,375 \\ y = 107,6 \end{cases}$ .

Do đó tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đang ở vị trí có 17,375° Bắc và có kinh độ 107,6° Đông.

Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác