Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 97.

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$ .

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý

a) O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó: $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}, \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}$

$= (\vec{M O} + \vec{O A}) + (\vec{M O} + \vec{O B}) + (\vec{M O} + \vec{O C}) + (\vec{M O} + \vec{O D})$

$= 4 \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O C}) + (\vec{O B} + \vec{O D})$

$= 4 \vec{M O} + \vec{0} + \vec{0} = 4 \vec{M O}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ .

b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Khi đó ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A C} = \vec{A C} + \vec{A C} = 2 \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$ .

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ ;

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Lời giải:

a) Do M là trung điểm của AB nên $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ .

Do N là trung điểm của CD nên $\vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}$

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = (\vec{M C} - \vec{M A}) + (\vec{M D} - \vec{M B})$

$= (\vec{M C} + \vec{M D}) - (\vec{M A} + \vec{M B}) = (\vec{M C} + \vec{M D}) - (\vec{M A} + \vec{M B})$

$\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N} = 2 \vec{M N} + (\vec{N C} + \vec{N D}) = 2 \vec{M N} + \vec{0} = 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$ .

b) Ta có: $\vec{B C} + \vec{A D} = (\vec{B N} + \vec{N C}) + (\vec{A N} + \vec{N D}) = (\vec{B N} + \vec{A N}) + (\vec{N C} + \vec{N D})$

$= (\vec{B N} + \vec{A N}) + \vec{0} = \vec{B N} + \vec{A N} = (\vec{M N} - \vec{M B}) + (\vec{M N} - \vec{M A})$

$= 2 \vec{M N} - (\vec{M A} + \vec{M B}) = 2 \vec{M N} - \vec{0} = 2 \vec{M N}$

Do đó: $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N}$

Mà theo câu a, ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$ .

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} = - 4 \vec{M B}$ .

Suy ra ba điểm M, A, B thẳng hàng và hai vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{M B}$ ngược hướng và thỏa mãn $|\vec{M A}| = 4. |\vec{M B}|$ hay MA = 4MB.

Khi đó M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B thỏa mãn MA = 4MB.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho: vectơ MA + 4 vectơ MB = vectơ 0

Vậy điểm M thỏa mãn $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$ là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA = 4MB.

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$ .

Lời giải:

Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G E}$ .

Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: $\vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G F}$ .

Mà G là trung điểm của EF nên $\vec{G E} + \vec{G F} = \vec{0}$ .

Do đó: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = 2 \vec{G E} + 2 \vec{G F} = 2 (\vec{G E} + \vec{G F}) = \vec{0}$ .

Với điểm M tùy ý, ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}$

$= (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \vec{G C}) + (\vec{M G} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

$= 4 \vec{M G} + \vec{0} = 4 \vec{M G}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$ .

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của máy bay A.

Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h

Lời giải:

Quan sát bản đồ về hướng sau:

Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h

Ta thấy hướng đông bắc ngược hướng với hướng tây nam.

Do đó vectơ vận tốc $\vec{b}$ của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc $\vec{a}$ của máy bay A. (1)

Theo bài ra ta có: $|\vec{a}| = 600$ km/h, $|\vec{b}| = 800$ km/h.

Suy ra: $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{800}{600} = \frac{4}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = \frac{4}{3} . |\vec{a}|$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{b} = - \frac{4}{3} \vec{a}$ .

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ .

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = 4 \vec{M O}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O A} = - 3 \vec{O B}$

Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng thỏa mãn $|\vec{O A}| = 3. |\vec{O B}|$ .

Khi đó O nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn OA = 3OB.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm O sao cho vectơ OA + 3 vectơ OB = vectơ 0

b) Với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) + 3 (\vec{M O} + \vec{O B})$

$= \vec{M O} + \vec{O A} + 3 \vec{M O} + 3 \vec{O B} = 4 \vec{M O} + (\vec{O A} + 3 \vec{O B}) = 4 \vec{M O} + \vec{0} = 4 \vec{M O}$

Vậy với mọi điểm M bất kì ta có $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = 4 \vec{M O}$ .

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$ .

b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$ .

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ $\vec{M B}$ cùng hướng với vectơ $\vec{B C}$ sao cho $|\vec{M B}| = \frac{1}{2} . |\vec{B C}|$ hay MB = $\frac{1}{2}$ BC.

Lại có: $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ $\vec{A N}$ cùng hướng với vectơ $\vec{N B}$ sao cho $|\vec{A N}| = 3 |\vec{N B}|$ hay AN = 3NB.

Có: $\vec{C P} = \vec{P A} \Leftrightarrow \vec{P A} - \vec{C P} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{P A} + (- \vec{C P}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{P A} + \vec{P C} = \vec{0}$

⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: vectơ MB = 1/2 vectơ BC, vectơ AN = 3 vectơ NB

b) Vì AN = 3NB nên BN = $\frac{1}{4}$ BA, do đó: $\vec{B N} = \frac{1}{4} \vec{B A}$ .

Ta có: $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ .

Vì MB = $\frac{1}{2}$ BC nên $M C = \frac{3}{2} B C$ , do đó: $\vec{M C} = \frac{3}{2} \vec{B C}$ .

P là trung điểm của AC nên $\vec{C P} = \frac{1}{2} \vec{C A}$ .

Nên ta có: $\vec{M P} = \vec{M C} + \vec{C P} = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C A} = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} (\vec{B A} - \vec{B C})$

$= (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$

Vậy $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$ và $\vec{M P} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$ .

c) Theo câu b ta có: $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A} = \frac{1}{2} (\vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}) = \frac{1}{2} \vec{M P}$

Do đó: $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{M P}$

Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác