Giải Toán 10 trang 95 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 95 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 95.

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và một điểm M như Hình 3.

Cho hai vectơ a , b và một điểm M như Hình 3. Hãy vẽ các vectơ: vectơ MN = 3 vectơ a, vectơ MP = -3 vectơ b

a) Hãy vẽ các vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$ .

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $|3 \vec{b}|, |- 3 \vec{b}|, |2 \vec{a} + 2 \vec{b}|$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{M N} = 3 \vec{a}$ nên vectơ $\vec{M N}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng $3. |\vec{a}|$ .

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\vec{a}$ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ thỏa mãn MN = $3. |\vec{a}|$

Lại có: $\vec{M P} = - 3 \vec{b}$ nên vectơ $\vec{M P}$ ngược hướng với vectơ $\vec{b}$ và có độ dài bằng $|- 3| . |\vec{b}| = 3. |\vec{b}|$ .

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\vec{b}$ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ $\vec{b}$ thỏa mãn $M P = 3. |\vec{b}|$ .

Cho hai vectơ a , b và một điểm M như Hình 3. Hãy vẽ các vectơ: vectơ MN = 3 vectơ a, vectơ MP = -3 vectơ b

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là $\sqrt{2}$ .

Ta có vectơ $\vec{a}$ có độ dài là $|\vec{a}| = 2$ , vectơ $\vec{b}$ có độ dài là $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ .

Ta có: $|3 \vec{b}| = 3. |\vec{b}| = 3. \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ; $|- 3 \vec{b}| = |- 3| . |\vec{b}| = 3 \sqrt{2}$ .

Lại có: $2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 (\vec{a} + \vec{b})$ (1).

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với $\vec{b} = \vec{B A}, \vec{a} = \vec{A C}$ .

Cho hai vectơ a , b và một điểm M như Hình 3. Hãy vẽ các vectơ: vectơ MN = 3 vectơ a, vectơ MP = -3 vectơ b

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A C} + \vec{B A} = \vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $2 \vec{a} + 2 \vec{b} = 2 \vec{B C}$ .

Nên $|2 \vec{a} + 2 \vec{b}| = |2 \vec{B C}| = 2 |\vec{B C}| = 2 B C$ .

Ta có: $\hat{B A C} = 45 ° + 90 ° = 135 °$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cosA

= ${(\sqrt{2})}^{2}$ + 2² – 2 . . 2 . cos135° = 10

Suy ra BC = $\sqrt{10}$ .

Vậy $|2 \vec{a} + 2 \vec{b}| = |2 \vec{B C}| = 2 |\vec{B C}| = 2 B C = 2 \sqrt{10}$ .

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Lời giải:

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} = \vec{M G} + \vec{G A}$ , $\vec{M B} = \vec{M G} + \vec{G B}$ , $\vec{M C} = \vec{M G} + \vec{G C}$ .

Khi đó: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \vec{G C})$

$= 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{M G} + \vec{0} = 3 \vec{M G}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ , ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M G} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M A} - \vec{M G}) + (\vec{M B} - \vec{M G}) + (\vec{M C} - \vec{M G}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của tàu A.

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ

Lời giải:

Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là $\vec{a}$ và vectơ vận tốc của tàu B là $\vec{b}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ta có: $|\vec{a}| = 20$ hải lí/giờ, $|\vec{b}| = 50$ hải lí/giờ.

Suy ra: $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} \Rightarrow |\vec{b}| = \frac{5}{2} |\vec{a}|$ .

Vì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng và $|\vec{b}| = \frac{5}{2} |\vec{a}|$ .

Do vậy $\vec{b} = - \frac{5}{2} \vec{a}$ .

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác