Giải Toán 10 trang 15 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 15 Tập 1 trong Bài 1: Mệnh đề Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 15.

Bài 4 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Cho các định lí:

P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”;

Q: “Nếu a < b thì a + c < b + c” (a, b, c ∈ ℝ).

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí;

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.

c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?

Lời giải:

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí;

Xét định lý P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” có:

Giả thiết: Nếu hai tam giác bằng nhau.

Kết luận: Diện tích của chúng bằng nhau.

Xét định lý Q: “Nếu a < b thì a + c < b + c” (a, b, c ∈ ℝ), có:

Giả thiết: a < b

Kết luận: a + c < b + c

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”:

Bằng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”, các định lý đã cho được phát biểu như sau:

Định lý P:

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.

Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

Định lý Q:

a < b là điều kiện đủ để có a + c < b + c.

a + c < b + c là điều kiện cần để có a < b.

c) +) Mệnh đề đảo của định lí P là: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”.

Mệnh đề này là mệnh đề sai, chẳng hạn hai tam giác sau ABC và MNP có cùng diện tích là 7,5 (đvdt) nhưng hai tam giác này không bằng nhau.

Cho các định lí: P: Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau

Do đó mệnh đề đảo của định lí P không là định lí.

+) Mệnh đề đảo của định lí Q là: “Nếu a + c < b + c thì a < b”.

Mệnh đề này là một mệnh đề đúng, vì:

Ta có: a + c < b + c

⇔ a + c + (-c) < b + c + (-c) (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng)

⇔ a < b.

Do đó mệnh đề đảo của định lí Q là một định lí.

Bài 5 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu các định lí sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương;

b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.

Lời giải:

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, các định lí được phát biểu như sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để biệt thức của nó dương.

b) Một hình bình hành là hinh thoi là điều kiện cần và đủ để hai đường chéo vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Cho các mệnh đề sau:

P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”;

R: “Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0”.

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các mệnh đề đã cho.

Lời giải:

+) Xét mệnh đề P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”:

Lấy số thực x bất kì, ta có:

Nếu x ≥ 0 thì |x| = x;

Nếu x < 0 thì |x| = - x. Do đó |x| > x.

Suy ra với mọi x ∈ ℝ thì |x| ≥ x.

Vậy mệnh đề P đúng.

+) Xét mệnh đề Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”:

Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn n² = 10.

Xét n² = 10 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = \sqrt{10} \\ n = - \sqrt{10} \end{array}$

Tuy nhiên $\sqrt{10}, - \sqrt{10} \notin ℕ$

Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy mệnh đề Q sai.

+) Xét mệnh đề R: “Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0”.

Xét phương trình x² + 2x – 1 = 0, có:

∆’ = 1² – 1.(-1) = 2 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm $x_{1} = - 1 + \sqrt{2}; x_{2} = - 1 - \sqrt{2}$

Hai nghiệm này đều là các số thực.

Do đó tồn tại các số thực $x = - 1 + \sqrt{2}; x = - 1 - \sqrt{2}$ thỏa mãn x² + 2x – 1 = 0.

Vậy mệnh đề R đúng.

b) Bằng cách sử dụng kí hiệu, các mệnh đề được phát biểu như sau:

P: “ $\forall x \in ℝ, |x| \geq x$ ”.

Q: “ $\exists n \in ℕ,$ n² = 10”

R: “ $\exists x \in ℝ$ , x² + 2x – 1 = 0”.

Bài 7 trang 15 Toán lớp 10 Tập 1: Xét tính đúng, sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:

a) $\exists x \in ℕ$ , x + 3 = 0;

b) ∀x ∈ ℝ , x² + 1 ≥ 2x;

c) $\forall a \in ℝ, \sqrt{a^{2}} = a .$

Lời giải:

a) Xét x + 3 = 0

⇔ x = -3

Nhưng – 3 không là số tự nhiên.

Do đó không tồn tại số tự nhiên x thỏa mãn x + 3 = 0.

Vậy mệnh đề a) sai.

b) Xét bất phương trình: x² + 1 ≥ 2x

⇔ x² – 2x + 1 ≥ 0

⇔ (x – 1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x)

Do đó với mọi số thực x đề thỏa mãn x² + 1 ≥ 2x.

Vậy mệnh đề b) đúng.

c) $\forall a \in ℝ, \sqrt{a^{2}} = a .$

Ta có hằng đẳng thức: $\sqrt{a^{2}} = |a|$

Nếu a ≥ 0 thì $\sqrt{a^{2}} = |a| = a$

Nếu a < 0 thì $\sqrt{a^{2}} = |a| = - a$

Do đó với a ≥ 0 thì $\sqrt{a^{2}} = a$

Vậy mệnh đề c) sai.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 1: Mệnh đề hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác