Giải Toán 10 trang 102 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 102 Tập 2 trong Bài 6: Ba đường conic Toán lớp 10 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 10 trang 102.

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

a) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

c) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

d) $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ .

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0.

Do đó, ta loại ngay đáp án b).

Ở đáp án a, ta thấy a² = b² = 64, do đó không thỏa mãn điều kiện.

Ở đáp án d, ta thấy a² = 25, b² = 64, suy ra a = 5 và b = 8 nên a < b, không thỏa mãn.

Ở đáp án c, ta có a² = 64, b² = 25, suy ra a = 8, b = 5 nên a > b > 0, thỏa mãn.

Vậy trong các phương trình đã cho thì phương trình ở đáp án c) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ là phương trình chính tắc của elip.

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: ChoElip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$ Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).

Lời giải:

Ta có: $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{7^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1.$

Do a > b > 0 nên elip (E) có a = 7, b = 5.

Ta có: c² = a² – b² = 7² – 5² = 24, suy ra $c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ .

Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox là A₁(– 7; 0), A₂(7; 0), tọa độ các giao điểm của (E) với trục Oy là B₁(0; – 5), B₂(0; 5) và tọa độ các tiêu điểm của E là $F_{1} (- 2 \sqrt{6}; 0), F_{2} (2 \sqrt{6}; 0)$ .

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viếtphương trình chính tắc của elip (E), biết tọa độ hai giao điểm của (E) với Ox và Oy lần lượt là A₁(– 5; 0) và B₂(0; $\sqrt{10}$ ).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0.

Elip (E) cắt trục Ox tại A₁(– 5; 0), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{{(- 5)}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = {(- 5)}^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 5^{2}$ , suy ra a = 5 (do a > 0).

Elip (E) cắt trục Oy tại $B_{2} (0; \sqrt{10})$ , thay vào phương trình elip ta được: $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = {(\sqrt{10})}^{2} \Rightarrow b = \sqrt{10}$ (do b > 0).

Vì 5 > $\sqrt{10}$ nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\sqrt{10})}^{2}} = 1 h a y \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ .

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A₁A₂ = 768 800 km và B₁B₂ = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip trên có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > b > 0.

Ta có Oy là đường trung trực của A₁A₂ nên O là trung điểm của A₁A₂ nên OA₂ = $\frac{A_{1} A_{2}}{2}$ $= \frac{768 800}{2} = 384 400$ .

Vì điểm A₂ nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng 384 400 nên A₂(384 800; 0).

Elip (E) cắt trục Ox tại A₂(384 800; 0), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{384 800^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 384 800^{2} \Rightarrow a = 384 800$ (do a > 0).

Lại có Ox là đường trung trực của B₁B₂ nên O là trung điểm của B₁B₂ nên OB₂ = $\frac{B_{1} B_{2}}{2}$ $= \frac{767 619}{2} = 338 309, 5$ .

Vì điểm B₂ nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O và cách O một khoảng bằng 338309,5 nên B₂(0; 338309,5).

Elip (E) cắt trục Oy tại B₂(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{338309, 5^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 338309, 5^{2} \Rightarrow b = 338309, 5$ (do b > 0).

Vì 384 800 > 338309,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^{2}}{384800^{2}} + \frac{y^{2}}{338309, 5^{2}} = 1$ .

Bài 5 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?

a) $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

c) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

d) $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Lời giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > 0, b > 0.

Do đó, ta loại ngay đáp án a.

Các phương trình ở các đáp án b, c, d đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng trên và thỏa mãn điều kiện a > 0, b > 0 với:

b) a = b = 3 > 0.

c) a = 3 > 0, b = 8 > 0.

d) a = 8 > 0, b = 3 > 0.

Bài 6 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ .

Do đó hypebol trên có a = 3, b = 4 (do a > 0, b > 0).

Ta có: c² = a² + b² = 3² + 4² = 25 = 5², suy ra c = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F₁(– 5; 0) và F₂(5; 0).

b) Ta có: $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Suy ra a² = 36, b² = 25.

Ta có: c² = a² + b² = 36 + 25 = 61, suy ra $c = \sqrt{61}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol trên là F₁(– $\sqrt{61}$ ; 0) và F₂( $\sqrt{61}$ ; 0).

Bài 7 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết $N (\sqrt{10}; 2)$ nằm trên (H) và hoành độ một giao điểm của (H) đối với trục Ox bằng 3.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của hypebol (H) có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > 0, b > 0.

Hoành độ một giao điểm của (H) với trục Ox là 3, do đó tọa độ giao điểm của (H) với trục Ox là (3; 0). Thay tọa độ này vào phương trình hypebol, ta được:

$\frac{3^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 3^{2} \Rightarrow a = 3$ (do a > 0).

Điểm $N (\sqrt{10}; 2)$ nằm trên (H) nên tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình (H), khi đó ta có: $\frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{3^{2}} - \frac{2^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 36 \Leftrightarrow b^{2} = 6^{2} \Rightarrow b = 6$ (do b > 0).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1 h a y \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Bài 8 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?

a) y² = – 2x;

b) y² = 2x;

c) x² = – 2y;

d) $y^{2} = \sqrt{5} x$ .

Lời giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

a) Ta có: y² = – 2x = 2 . (– 1)x, vì (– 1) < 0 nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.

b) Ta có: y² = 2x = 2 . 1 . x, vì 1 > 0 nên đây là phương trình chính tắc của parabol với p = 1.

c) Phương trình x² = – 2y không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.

d) Ta có: $y^{2} = \sqrt{5} x = 2. \frac{\sqrt{5}}{2} x$ , vì $\frac{\sqrt{5}}{2} > 0$ nên đây là phương trình chính tắc của parabol với $p = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Bài 9 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:

a) $y^{2} = \frac{5}{2} x$ ;

b) $y^{2} = 2 \sqrt{2} x$ .

Lời giải:

a) Ta có: $y^{2} = \frac{5}{2} x = 2. \frac{5}{4} x$ .

Do đó parabol trên có p = $\frac{5}{4}$ (thỏa mãn p > 0).

Ta có: $\frac{p}{2} = \frac{\frac{5}{4}}{2} = \frac{5}{8}$ .

Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là $F (\frac{5}{8}; 0)$ và phương trình đường chuẩn là $x + \frac{5}{8} = 0$ .

b) Ta có: $y^{2} = 2 \sqrt{2} x = 2. \sqrt{2} . x$ .

Do đó parabol trên có p = $\sqrt{2}$ (thỏa mãn p > 0).

Ta có: $\frac{p}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là $F (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$ và phương trình đường chuẩn là $x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$ .

Bài 10 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm là F(6; 0).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

Tiêu điểm của parabol là F(6; 0).

Do đó, $\frac{p}{2} = 6 \Leftrightarrow p = 12$ .

Vậy phương trình chính tắc của parabol là y² = 2 . 12 x hay y² = 24x.

Bài 11 trang 102 Toán lớp 10 Tập 2: Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63)