Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r

Trang trước Trang sau

Bài 25 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) $\hat{D M E} = 90 °;$

b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);

c) MD.MB = ME.MC.

Lời giải:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r

a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.

Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.

Suy ra OD // O’E nên $\hat{B O D} = \hat{A O^{'} E}$ (hai góc đồng vị). (1)

Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên $\hat{O B D} = \hat{O D B}$

Mà $\hat{O B D} + \hat{O D B} + \hat{B O D} = 180 °$ nên $\hat{O B D} = \hat{O D B} = \frac{180 ° - \hat{B O D}}{2} .$ (2)

Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có

$\hat{O^{'} A E} = \hat{O^{'} E A} = \frac{180 ° - \hat{A O^{'} E}}{2} . (3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{O B D} = \hat{O^{'} E A} . (4)$

Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên $\hat{O^{'} C E} = \hat{O^{'} E C} (5)$

Mà $\hat{O^{'} E A} + \hat{O^{'} E C} = \hat{A E C} = 90 ° (6)$

Từ (4), (5) và (6) suy ra $\hat{O B D} + \hat{O^{'} C E} = 90 °$ hay $\hat{C B M} + \hat{B C M} = 90 °$

Ta lại có $\hat{C B M} + \hat{B M C} + \hat{B C M} = 180 °$ (tổng ba góc của tam giác BCM)

Do đó $\hat{B M C} = 180 ° - (\hat{C B M} + \hat{B C M}) = 180 ° - 90 ° = 90 °$ hay $\hat{D M E} = 90 ° .$

b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra $D O = \frac{1}{2} A B$ nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.

Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.

Xét tứ giác ADME có $\hat{D M E} = \hat{A D M} = \hat{A E M} = 90 °$ nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên $I A = I M = \frac{1}{2} A M = \frac{1}{2} D E = I D = I E .$

Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung

Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).

Suy ra $\hat{O A I} = \hat{O D I} = 90 °$ hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có $\hat{M E D} + \hat{A E D} = \hat{A E M} = 90 °$ và $\hat{O^{'} E A} + \hat{A E D} = \hat{O^{'} E D} = 90 °$ nên $\hat{O^{'} E A} = \hat{M E D}$

Lại có $\hat{O B D} = \hat{O^{'} E A}$ (chứng minh ở câu a) nên $\hat{O B D} = \hat{M E D}$ hay $\hat{M B C} = \hat{M E D} .$

Xét ∆BCM và ∆EDM có: $\hat{B M C}$ là góc chung và $\hat{M B C} = \hat{M E D} .$

Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên $\frac{M B}{M E} = \frac{M C}{M D} .$

Suy ra MD . MB = ME . MC.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác