Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, Vẽ dây AC sao cho góc CAB = 30 độ

Trang trước Trang sau

Bài 21 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\hat{C A B} = 30 ° .$ Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O);

b) $M C = R \sqrt{3} .$

Lời giải:

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, Vẽ dây AC sao cho góc CAB = 30 độ

a) Ta có C nằm trên đường tròn (O) đường kính AB nên $O C = \frac{1}{2} A B .$

Xét ∆ABC có CO là trung tuyến ứng với cạnh AB và $O C = \frac{1}{2} A B$ nên tam giác ABC vuông tại C, hay $\hat{A C B} = 90 ° .$

Ta có ∆OAC cân tại O (do OA = OC = R) nên $\hat{O C A} = \hat{O A C} = 30 ° .$

Mà $\hat{A C B} = \hat{O C A} + \hat{O C B}$ nên $\hat{O C B} = \hat{A C B} - \hat{O C A} = 90 ° - 30 ° = 60 ° .$

Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC = R) có $\hat{O C B} = 60 °$ nên ∆OBC là tam giác đều

Suy ra CB = OB.

Mà B là trung điểm của OM nên $O B = \frac{O M}{2},$ suy ra $C B = \frac{O M}{2} .$

Xét ∆COM có CB là trung tuyến ứng với cạnh OM và $C B = \frac{O M}{2}$ nên tam giác COM vuông tại C, hay MC ⊥ OC tại C nằm trên đường tròn (O; R).

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có B là trung điểm của OM nên OM = 2OB = 2R.

Xét ∆COM vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có: OM² = OC² + MC²

Suy ra $M C = \sqrt{O M^{2} - O C^{2}} = \sqrt{{(2 R)}^{2} - R^{2}} = \sqrt{3 R^{2}} = R \sqrt{3} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác