Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính, Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB

Trang trước Trang sau

Bài 20 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh:

a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn;

b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính, Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó $M B = M C = \frac{1}{2} B C . (1)$

Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC ⊥ AB tại I.

Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên $I M = \frac{1}{2} B C . (2)$

Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên $D M = \frac{1}{2} B C . (3)$

Từ (1), (2) và (3), suy ra $I M = D M = C M = B M = \frac{B C}{2} .$

Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay $\hat{B C I} = \hat{B C D} .$

Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên $\hat{O B C} = \hat{O C B}$ hay $\hat{O B C} = \hat{B C I} .$

Suy ra $\hat{O B C} = \hat{B C D},$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.

Lại có BD ⊥ CD nên BD ⊥ OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác