Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. a) Chứng mình rằng AB2 = BH . BC

Bài 9 trang 75 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH.

a) Chứng mình rằng AB² = BH . BC.

b) Chứng mỉnh rằng AH² = BH . CH.

c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D (AD < AC). Đường thẳng qua H và song song với AC cắt AB, BD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng $\frac{M N}{M H} = \frac{A D}{A C}$ .

d) Vẽ AE vuông góc với BD tại E. Chứng minh rằng $\hat{B E H} = \hat{B A H}$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. a) Chứng mình rằng AB2 = BH . BC

a) Xét ∆ABC vuông tại A và ∆HBA vuông tại H có $\hat{A B C}$ chung.

Do đó ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g).

Suy ra $\frac{A B}{B H} = \frac{B C}{A B}$ . Do đó AB² = BC . BH (đpcm).

b) Xét ∆HBA vuông tại H và ∆HAC vuông tại H có

$\hat{B A H} = \hat{A C H}$ (cùng phụ với $\hat{C A H}$ ).

Do đó ∆HBA ᔕ ∆HAC (g.g).

Suy ra $\frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H}$ . Do đó AH² = BH . CH (đpcm).

c) Xét ∆ABD có MN // AD, suy ra $\frac{M N}{A D} = \frac{B M}{B A}$ (1)

Xét ∆ABC có MH // AC, suy ra $\frac{M H}{A C} = \frac{B M}{B A}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{M N}{A D} = \frac{M H}{A C}$ . Do đó $\frac{M N}{M H} = \frac{A D}{A C}$ (đpcm).

d) Xét ∆ABD vuông tại A và ∆EBA vuông tại E có $\hat{A B D}$ chung.

Do đó ∆ABD ᔕ ∆EBA (g.g).

Suy ra $\frac{A B}{B E} = \frac{B D}{A B}$ . Do đó AB² = BD . BE.

Mà AB² = BC . BH nên BC . BH = BD . BE.

Do đó $\frac{B H}{B D} = \frac{B E}{B C}$ .

Xét ∆BEH và ∆BCD có

$\frac{B H}{B D} = \frac{B E}{B C}$ và $\hat{D B C}$ chung.

Do đó ∆BEH ᔕ ∆BCD (c.g.c).

Suy ra $\hat{B E H} = \hat{B C D}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{B A H} = \hat{B C D}$ (cùng phụ với $\hat{H A C}$ ).

Do đó $\hat{B E H} = \hat{B A H}$ (đpcm).

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Chân trời sáng tạo khác