Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H

Bài 8 trang 75 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆ANQ ᔕ ∆ABC.

b) Đường thẳng QN cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng FB . FC = FQ . FN.

c) Trên đoạn HB lầy điểm I sao cho $\hat{A I C} = 90 °$ . Chứng minh rằng AI² = AN . AC.

d) Trên đoạn HC lấy điểm K sao cho $\hat{A K B} = 90 °$ . Chứng mình rằng ∆AIK cân.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H

a) Xét ∆ANB vuông tại N và ∆AQC vuông tại Q có $\hat{B A C}$ chung.

Do đó ∆ANB ᔕ ∆AQC (g.g).

Suy ra $\frac{A N}{A Q} = \frac{A B}{A C}$ hay $\frac{A N}{A B} = \frac{A Q}{A C}$ .

Xét ∆ANQ và ∆ABC có

$\frac{A N}{A B} = \frac{A Q}{A C}$ ; $\hat{B A C}$ chung.

Do đó ∆ANQ ᔕ ∆ABC (c.g.c)

b) Xét ∆FQB và ∆FCN có

$\hat{C F N}$ chung; $\hat{F Q B} = \hat{F C N} (= \hat{A Q N})$ .

Do đó ∆FQB ᔕ ∆FCN (g.g).

Suy ra $\frac{F Q}{F C} = \frac{F B}{F N}$ . Do đó FB . FC = FQ . FN (g.g).

c) Xét ∆ANI vuông tại N và ∆AIC vuông tại I có $\hat{I A C}$ chung.

Do đó ∆ANI ᔕ ∆AIC (g.g).

Suy ra $\frac{A N}{A I} = \frac{A I}{A C}$ . Do đó AI² = AN . AC (1)

d) Xét ∆AQK vuông tại Q và ∆AKB vuông tại K có $\hat{B A K}$ chung.

Do đó ∆AQK ᔕ ∆AKB (g.g).

Suy ra $\frac{A Q}{A K} = \frac{A K}{A B}$ . Do đó AK² = AQ . AB (2)

Mà $\frac{A N}{A B} = \frac{A Q}{A C}$ nên suy ra AN . AC = AQ . AB (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AI = AK.

Vậy nên ∆AIK cân tại A.

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 8 Chân trời sáng tạo khác