Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của góc ABC

Bài 15 trang 51 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của $\hat{A B C}$ cắt AC tại D.

a) Tính độ dài DA, DC;

b) Tia phân giác của $\hat{A C B}$ cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh $\hat{B I M}$ = 90°.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² =100 , suy ra BC = 10 (cm).

Vì BD là đường phân giác của $\hat{A B C}$ trong ∆ABC nên

$\frac{D A}{D C} = \frac{B A}{B C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ,

Suy ra $\frac{D A}{3} = \frac{D C}{5} = \frac{D A + D C}{3 + 5} = \frac{A C}{8} = \frac{8}{8}$ = 1.

Do đó DA = 3.1 = 3 (cm) và DC = 5.1 = 5 (cm).

Vậy DA = 3 cm và DC = 5 cm.

b) Xét ∆ABD vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BD² = AB² + AD² = 6² + 3² = 45 , suy ra BD = $3 \sqrt{5}$ (cm).

Ta có CI là đường phân giác của $\hat{D C B}$ trong ∆CBD nên

$\frac{I D}{I B} = \frac{C D}{C B} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ hay $\frac{I D}{1} = \frac{I B}{2}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{I D}{1} = \frac{I B}{2} = \frac{I D + I B}{1 + 2} = \frac{B D}{3} = \frac{3 \sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ .

Suy ra ID = $\sqrt{5}$ (cm) và IB = 2 $\sqrt{5}$ (cm).

Ta có: MB = MC = $\frac{1}{2}$ BC = 5 (cm)

Xét ∆IDC và ∆IMC có

IC chung

$\hat{D C I} = \hat{M C I}$

DC = MC

Do đó ∆IDC = ∆IMC (c.g.c).

Suy ra ID = IM = $\sqrt{5}$ (cm)

Ta có IM² + IB² = ${(\sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2}$ = 25 và MB² = 5² = 25.

Do đó IM² + IB²= MB².

Áp dụng định lý Pythagore đảo trong ∆IBM, suy ra ∆IBM vuông tại I.

Suy ra $\hat{B I M}$ = 90°.

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 8 Chân trời sáng tạo khác