Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và DC, K là giao điểm của AC và BF (Hình 9). Chứng minh:

a) AH = AK;

b) AH² = AK² = HB.KC.

Lời giải:

a) Đặt AB = c, AC = b.

Xét ∆BDH với BD // AC (cùng vuông góc với AB), ta có:

$\frac{A H}{H B} = \frac{A C}{B D}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Mà BD = AB (do ∆ABD vuông cân tại B) nên $\frac{A H}{H B} = \frac{A C}{B D} = \frac{A C}{A B} = \frac{b}{c}$

Suy ra $\frac{A H}{A H + H B} = \frac{b}{b + c}$ hay $\frac{A H}{A B} = \frac{b}{b + c}$ .

Do đó $A H = \frac{b c}{b + c}$ (1)

Tương tự, ∆ABK với AB // CF (cùng vuông góc với AC) và CF = AC (do ∆ACF vuông cân tại C), theo hệ quả của định lí Thalès ta có: $\frac{A K}{K C} = \frac{A B}{C F} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b} .$

Suy ra $\frac{A K}{K C + A K} = \frac{c}{b + c}$

Hay $\frac{A K}{A C} = \frac{c}{b + c} .$

Do đó $A K = \frac{b c}{b + c}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK.

b) Từ $\frac{A H}{H B} = \frac{A C}{B D} = \frac{b}{c}$ và $\frac{A K}{K C} = \frac{A B}{C F} = \frac{c}{b}$ (câu a), ta có $\frac{A H}{H B} = \frac{K C}{A K}$

Mà AK = AH nên $\frac{A H}{H B} = \frac{K C}{A H}$

Do đó, AH² = AK² = HB.KC.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác