Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo, lấy G trên cạnh BC

Trang trước Trang sau

Bài 49 trang 79 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo, lấy G trên cạnh BC, H trên cạnh CD sao cho $\hat{G O H} = 45 ° .$ Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh:

a) ∆HOD ᔕ ∆OGB;

b) MG // AH.

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo, lấy G trên cạnh BC

a) Do ABCD là hình vuông nên đường chéo là tia phân giác của mỗi góc.

Suy ra $\hat{C D B} = \hat{C B D} = 45 ° .$

Mặt khác:

$\hat{D O H} + \hat{B O G} = 180 ° - \hat{G O H} = 180 ° - 45 ° = 135 °;$

$\hat{B O G} + \hat{B G O} = 180 ° - \hat{O B G} = 180 ° - 45 ° = 135 ° .$

Suy ra $\hat{D O H} = \hat{B G O} .$

Xét ∆HOD và ∆OGB có:

$\hat{H D O} = \hat{O B G} = 45 °$ ; $\hat{D O H} = \hat{B G O}$

Suy ra ∆HOD ᔕ ∆OGB (g.g).

b) Theo câu a, ta có ∆HOD ᔕ ∆OGB, suy ra $\frac{H D}{O B} = \frac{O D}{G B}$ (tỉ số đồng dạng)

Do đó HD.GB = OB.OD.

Đặt MB = a, khi đó AD = 2a (do M là trung điểm của AB, AB = AD)

Xét ∆ABD vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có: BD² = AB² + AD².

Do đó $B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}}$ = $\sqrt{{(2 a)}^{2} + {(2 a)}^{2}} = \sqrt{8 a^{2}} = 2 a \sqrt{2} .$

Suy ra $O B = O D = a \sqrt{2} .$

Khi đó $H D . G B = O B . O D$ = $a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2} = 2 a^{2}$ = $2 a \cdot a = A D \cdot B M$

Vì HD.GB = AD.BM nên $\frac{H D}{B M} = \frac{A D}{B G}$

Xét ∆DHA và ∆BMG có:

$\hat{H D A} = \hat{M B G} = 90 °$ và $\frac{H D}{B M} = \frac{A D}{B G}$

Suy ra ∆DHA ᔕ ∆BMG (c.g.c).

Do đó $\hat{A H D} = \hat{M_{1}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{A H D} = \hat{B A H}$ (hai góc so le trong do AB // CD).

Suy ra $\hat{M_{1}} = \hat{B A H}$

Mà $\hat{M_{1}}$ và $\hat{B A H}$ ở vị trí đồng vị nên MG // AH.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác