Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 3AC và điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD = 2DB

Trang trước Trang sau

Bài 42* trang 76 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 3AC và điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD = 2DB. Chứng minh: $\hat{A D C} + \hat{A B C} = 45 °$ .

Lời giải:

Gọi E là trung điểm của AD nên AD = 2AE, AE = ED.

Mà AD = 2DB (giả thiết)

Suy ra AE = ED = DB

Do đó AB = AE + ED + BD = 3AE

Mà AB = 3AC (giả thiết) nên AE = AC hay AE = ED = DB = AC.

Đặt AE = x (x > 0).

Suy ra AE = ED = DB = AC = x, EB = 2x.

Xét ∆ACE vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

CE² = AC² + AE² = x² + x² = 2x²

Suy ra $C E = x \sqrt{2} .$

Ta có: $\frac{E D}{E C} = \frac{x}{x \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\frac{E C}{E B} = \frac{x \sqrt{2}}{2 x} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $\frac{E D}{E C} = \frac{E C}{E B}$

Xét ∆EDC và ∆ECB có:

$\hat{C E B}$ là góc chung và $\frac{E D}{E C} = \frac{E C}{E B}$ (chứng minh trên)

Suy ra ∆EDC ᔕ ∆ECB (c.g.c).

Do đó $\hat{E C D} = \hat{E B C}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\hat{A D C} + \hat{A B C} = \hat{E D C} + \hat{E B C} = \hat{E D C} + \hat{E C D}$

Mặt khác, $\hat{A E C}$ là góc ngoài tại đỉnh E của ∆CED nên $\hat{A E C} = \hat{E D C} + \hat{E C D}$

Do đó $\hat{A D C} + \hat{A B C} = \hat{A E C} .$

Lại có, do ∆AEC là tam giác vuông cân tại A nên $\hat{A E C} = 45 °$

Vậy $\hat{A D C} + \hat{A B C} = 45 °$ .

Lời giải SBT Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác