Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, góc A = 1/2 góc B

Trang trước Trang sau

Bài 30* trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, $\hat{A} = \frac{1}{2} \hat{B}$ . Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho $\hat{H B K} = 60 °$ .

a) Chứng minh DH + DK không đổi.

b) Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Lời giải:

Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, góc A = 1/2 góc B

a) Do ABCD là hình thoi nên DA = AB = 2 cm, $\hat{A B D} = \hat{C B D} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ (BD là đường phân giác của góc ABC).

Mà $\hat{B A D} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ , suy ra $\hat{B A D} = \hat{A B D}$ .

Do đó tam giác ABD cân tại D.

Suy ra DA = DB.

Mà AB = DA, suy ra AB = DA = DB.

Do đó tam giác ABD đều nên $\hat{B A D} = \hat{A B D} = \hat{A D B} = 60 °$ .

Suy ra $\hat{B D C} = \hat{A B D} = 60 °$ (hai góc so le trong của AB // CD).

Ta có: $\hat{A B H} + \hat{H B D} = \hat{A B D} = 60 °$ ; $\hat{H B D} + \hat{D B K} = \hat{H B K} = 60 °$

Suy ra $\hat{A B H} = \hat{D B K}$ .

Xét ∆ABH và ∆DBK có:

$\hat{A B H} = \hat{D B K}$ ; AB = BD; $\hat{B A H} = \hat{B D K} (= 60 °)$

Do đó ∆ABH = ∆DBK (g.c.g).

Suy ra AH = DK (hai cạnh tương ứng).

Do đó DH + DK = DH + AH = AD (không đổi)

Vậy DH + DK không đổi.

b) Do ∆ABH = ∆DBK (câu a) nên BH = BK (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BHK có BH = BK và $\hat{H B K} = 60 °$ nên tam giác BHK là tam giác đều.

Suy ra HK = BH = BK.

Do đó, độ dài HK ngắn nhất khi BH và BK ngắn nhất.

Khi đó H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD.

Xét ∆ABH vuông tại H và ∆DBH vuông tại H có:

AB = BD, cạnh BH chung

Do đó ∆ABH = ∆DBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $A H = D H = \frac{A D}{2} = \frac{2}{2} = 1 (cm)$ .

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + BH²

Suy ra BH² = AB² – AH² = 2² – 1² = 4 – 1 = 3.

Do đó $B H = \sqrt{3} cm$ .

Vậy độ dài ngắn nhất của HK là $\sqrt{3} cm$ .

Lời giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác