Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE

Trang trước Trang sau

Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

a) BN ⊥ CM;

b) Tứ giác MNHK là hình thoi.

Lời giải:

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE

a) Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD ⊥ AC, CE ⊥ AB.

Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên $\hat{A B D} + \hat{A} = \hat{A C E} + \hat{A} = 90 °$

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{A C E}$ .

Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của $\hat{A B D}$ và $\hat{A C E}$ , suy ra $\hat{A B N} = \hat{D B N} = \hat{A C M} = \hat{E C M}$ .

Do ∆CEM vuông tại E nên $\hat{E C M} + \hat{E M C} = 90 °$

Suy ra

$\hat{A B N} + \hat{E M C} = 90 °$

hay

\hat{M B O} + \hat{B M O} = 90 °

Trong tam giác MOB có: $\hat{M B O} + \hat{B M O} + \hat{B O M} = 180 °$

Suy ra $\hat{B O M} = 180 ° - (\hat{M B O} + \hat{B M O}) = 180 ° - 90 ° = 90 °$ .

Vậy BN ⊥ CM.

b) Xét ∆BMO vuông tại O và ∆BHO vuông tại O có:

Cạnh BO chung, $\hat{M B O} = \hat{H B O}$

Do đó ∆BMO = ∆BHO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra OM = OH (hai cạnh tương ứng)

Hay O là trung điểm của MH.

Tương tự ta chứng minh được ∆CNO = ∆CKO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra ON = OK (hai cạnh tương ứng)

Hay O là trung điểm của NK.

Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNHK là hình bình hành.

Hình bình hành MNHK có MH ⊥ NK nên MNHK là hình thoi.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác