Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là

Trang trước Trang sau

Bài 56 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:

a) $\hat{A B M} = \hat{C A N}$ ;

b) CN = MA;

c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là

a) Xét ∆MAB vuông tại M có: $\hat{A B M} + \hat{M A B} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Ta có $\hat{M A B} + \hat{B A C} + \hat{C A N} = 180 °$

Suy ra $\hat{M A B} + \hat{C A N} = 180 ° - \hat{B A C} = 90 °$

Lại có $\hat{A B M} + \hat{M A B} = 90 °$

Suy ra $\hat{A B M} = \hat{C A N}$ .

Vậy $\hat{A B M} = \hat{C A N}$ .

b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:

$\hat{B M A} = \hat{A N C} (= 90 °)$ ,

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

$\hat{A B M} = \hat{C A N}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A C B} = \hat{A B C}$

Lại có $\hat{A C B} + \hat{A B C} + \hat{B A C} = 180 °$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\hat{A C B} = \hat{A B C} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$ .

• Nếu a // BC thì $\hat{M A B} = \hat{A B C}$ (hai góc so le trong).

Do đó $\hat{M A B} = 45 °$ .

Xét ∆ABM có $\hat{A M B} + \hat{M B A} + \hat{M A B} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{M B A} = 180 ° - \hat{A M B} - \hat{M A B} = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °$ .

Do đó $\hat{M A B} = \hat{M B A}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có $\hat{A M B} = 90 °$ và $\hat{M A B} = \hat{M B A}$ nên ∆AMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì $\hat{C A N} = \hat{A C B} = 45 °$ (hai góc so le trong)

Xét ∆ABM có $\hat{A C N} + \hat{A N C} + \hat{C A N} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{A C N} = 180 ° - \hat{A N C} - \hat{C A N} = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °$ .

Do đó $\hat{A C N} = \hat{C A N}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có $\hat{A N C} = 90 °$ và $\hat{A C N} = \hat{C A N}$ nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác