Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC

Trang trước Trang sau

Bài 106 trang 99 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh $\hat{A B D} = \hat{A E D}$ .

b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.

c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC

a) Xét DABD và DEAD có:

AB = AE (giả thiết),

$\hat{B A D} = \hat{E A D}$ (do AD là tia phân giác của góc BAC)

AD là cạnh chung

Suy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

Do đó $\hat{A B D} = \hat{A E D}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\hat{A B D} = \hat{A E D}$ .

b) Xét ∆ABC và ∆AEF có:

$\hat{F A C}$ là góc chung,

AB = AE (giả thiết),

$\hat{A B C} = \hat{A E F}$ (Do $\hat{A B D} = \hat{A E D}$ )

Suy ra ∆ABC = ∆AEF (g.c.g)

Do đó AC = AF (hai cạnh tương ứng)

Vậy AC = AF.

c) Xét ∆AHF và ∆AHC có:

AH là cạnh chung,

$\hat{F A H} = \hat{C A H}$ (do AD là tia phân giác của góc BAC),

AF = AC (chứng minh câu b)

Do đó ∆AHF = ∆AHC (c.g.c)

Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của tam giác DFC.

Xét tam giác DFC có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại I

Suy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.

Do đó IH = $\frac{1}{2}$ ID (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay DI = 2IH.

Vậy DI = 2IH.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác