Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, B'C', DD'

Trang trước Trang sau

Bài 62 trang 118 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, B'C', DD'.

a) Chứng minh rằng ADC'B' là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng BD // (AB'D'), MN // (AB'D').

c) Chứng minh rằng (MNP) // (AB'D') và BD // (MNP).

d*) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình hộp.

e*) Lấy một đường thẳng cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Tính tỉ số $\frac{I J}{J H}$ .

Lời giải:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, B'C', DD'

a) Vì ABCD và BCC'B' là các hình bình hành nên AD // BC, AD = BC và BC // B'C', BC = B'C'. Suy ra AD // B'C', AD = B'C'.

Vậy ADC'B' là hình bình hành.

b) Vì BB' // DD' và BB' = DD' nên BDD'B' là hình bình hành.

Do đó, BD // B'D'. Mà B'D' ⊂ (AB'D').

Suy ra BD // (AB'D').

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, B'C' và AD // B'C', AD = B'C' nên AM // B'N và AM = B'N. Suy ra AMNB' là hình bình hành, do đó MN // AB'.

Mà AB' ⊂ (AB'D') nên MN // (AB'D').

c) Vì M, P lần lượt là trung điểm của AD, DD' nên MP là đường trung bình của tam giác ADD', suy ra MP // AD'. Mà AD' ⊂ (AB'D') nên MP // (AB'D').

Theo câu b ta có MN // (AB'D'). Từ đó suy ra (MNP) // (AB'D').

Vì BD // B'D' và B'D' ⊂ (AB'D') nên BD // (AB'D'), suy ra BD // (MNP).

d) Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của C'D', B'B, BA.

Khi đó, ta chứng minh được PE // MN, NF // MP, KF // MN nên các điểm E, F, K đều thuộc mặt phẳng (MNP).

Do đó giao tuyến của (MNP) với các mặt (ADD'A'), (DCC'D'), (A'B'C'D'), (BCC'B'), (ABB'A') và (ABCD) lần lượt là MP, PE, EN, NF, FK, KM.

e) Theo câu d, ta có mặt phẳng (MNP) trùng với mặt phẳng (MKFNEP).

Gọi R, O lần lượt là giao điểm của AC với MK, BD.

Khi đó, ta có $\frac{A R}{R O} = 1$ và đường thẳng AC cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại A, R, O. Theo giả thiết đường thẳng IJ cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có $\frac{A R}{I J} = \frac{R O}{J H} = \frac{A O}{I H}$ .

Từ đó suy ra $\frac{I J}{J H} = \frac{A R}{R O} = 1$ .

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác