Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.

b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ của I.

Lời giải:

a) Với A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ta có:

$\vec{A B} = (4; 3)$ và $\vec{A C} = (6; - 3)$

Vì $\frac{4}{6} = \frac{2}{3} \neq \frac{3}{- 3} = - 1$ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{1}{3}; 2)$ .

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1) và H(x; y) ta có:

• $\vec{A H} = (x + 3; y - 2)$ và $\vec{B C} = (2; - 6)$

$\Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = (x + 3) .2 + (y - 2) . (- 6) = 0$

$\Rightarrow$ 2x – 6y = –18

$\Rightarrow$ x – 3y = –9 (1)

• $\vec{B H} = (x - 1; y - 5)$ và $\vec{A C} = (6; - 3)$

$\Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = (x - 1) .6 + (y - 5) . (- 3) = 0$

$\Rightarrow$ 6x – 3y = –9 (2)

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có:

5x = 0 $\Rightarrow$ x = 0

$\Rightarrow$ y = 3

$\Rightarrow$ H(0; 3)

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H(0; 3)

c) Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

$\vec{A H} = 2 \vec{I M}$ với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–3; 2), B(1; 5), C(3; −1), H(0; 3) và I(a; b) ta có:

• $\vec{A H} = (3; 1)$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

$\Rightarrow$ M(2; 2)

$\Rightarrow \vec{I M} = (2 - a; 2 - b)$

$\Rightarrow 2 \vec{I M} = (4 - 2 a; 4 - 2 b)$

Ta có $\vec{A H} = 2 \vec{I M}$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}) .$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác