Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C

Trang trước Trang sau

Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng Chứng minh rằng $\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0$

Lời giải:

Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên $\vec{M D}$ là hình chiếu của $\vec{O H}$ trên giá của

Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:

$\vec{O H} . \vec{B C} = \vec{M D} . \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{M D} . \vec{B C} = \vec{O H} . \vec{B C} = \vec{O H} . (\vec{O C} - \vec{O B})$

$\Rightarrow \vec{M D} . \vec{B C} = \vec{O H} . \vec{O C} - \vec{O H} . \vec{O B}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

• $\vec{N E} . \vec{C A} = \vec{O H} . \vec{C A} = \vec{O H} . (\vec{O A} - \vec{O C})$

$\Rightarrow \vec{N E} . \vec{C A} = \vec{O H} . \vec{O A} - \vec{O H} . \vec{O C}$ (2)

• $\vec{P F} . \vec{A B} = \vec{O H} . \vec{A B} = \vec{O H} . (\vec{O B} - \vec{O A})$

$\Rightarrow \vec{P F} . \vec{A B} = \vec{O H} . \vec{O B} - \vec{O H} . \vec{O A}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B}$

$= \vec{O H} . \vec{O C} - \vec{O H} . \vec{O B} + \vec{O H} . \vec{O A} - \vec{O H} . \vec{O C} + \vec{O H} . \vec{O B} - \vec{O H} . \vec{O A}$

= 0

Vậy $\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0.$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác