Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Bài 4.26 trang 59 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

a) Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ $\vec{E C} + \vec{E D}$ có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho

Lời giải:

a) Giả sử E(0; y_E) là điểm thuộc trục tung.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

$\vec{E C} = (1; 6 - y_{E})$ và $\vec{E D} = (11; 2 - y_{E})$

$\Rightarrow \vec{E C} + \vec{E D} = (1 + 11; 6 - y_{E} + 2 - y_{E})$

$\Rightarrow \vec{E C} + \vec{E D} = (12; 8 - 2 y_{E})$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Vì (8 – 2y_E)² ≥ 0 ∀ y_E

Nên 12² + (8 – 2y_E)² ≥ 12² ∀ y_E

Hay $\sqrt{12^{2} + {(8 - 2 y_{E})}^{2}} \geq 12$ ∀ y_E

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Do đó độ dài của vectơ $\vec{E C} + \vec{E D}$ nhỏ nhất bằng 12

Dấu “=’ xảy ra $\Leftrightarrow$ 8 – 2y_E = 0

$\Leftrightarrow$ y_E = 4

Vậy với E(0; 4) thì vectơ $\vec{E C} + \vec{E D}$ có độ dài ngắn nhất.

b) Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) $\vec{F C} = (1 - a; 6)$ $\Rightarrow 2 \vec{F C} = (2 - 2 a; 12)$

+) $\vec{F D} = (11 - a; 2)$ $\Rightarrow 3 \vec{F D} = (33 - 3 a; 6)$

$\Rightarrow 2 \vec{F C} + 3 \vec{F D} = (2 - 2 a + 33 - 3 a; 12 + 6)$

$\Rightarrow 2 \vec{F C} + 3 \vec{F D} = (35 - 5 a; 18)$

Vì (35 – 5a)² ≥ 0 ∀a

Nên (35 – 5a)² + 18² ≥ 18² ∀a

Hay $\sqrt{{(35 - 5 a)}^{2} + 18^{2}}$ ∀a

Do đó độ dài của vectơ $2 \vec{F C} + 3 \vec{F D}$ nhỏ nhất bằng 18

Dấu “=’ xảy ra $\Leftrightarrow$ 35 – 5a = 0

$\Leftrightarrow$ a = 7

Vậy với F(7; 0) thì Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2) đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) $\vec{C D} = (10; - 4)$

Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có:

• Tọa độ của I là: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

• $\vec{M C} + \vec{M D} = 2 \vec{M I}$

Ta có Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

$\Leftrightarrow I M = \frac{C D}{2} = \frac{2 \sqrt{29}}{2} = \sqrt{29} .$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính $R = \sqrt{29} .$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác