Cho góc anpha thỏa mãn 0 độ < α < 180 độ, tan anpha = căn2

Trang trước Trang sau

Bài 3.4 trang 33 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = $\sqrt{2}$ . Tính giá trị của biểu thức

K = $\frac{\sin^{3} α + \sin α . \cos^{2} α + 2 \sin^{2} α . \cos α - 4 \cos^{3} α}{\sin α - \cos α}$ .

Lời giải:

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Mà tanα = $\frac{\sin α}{\cos α}$ = $\sqrt{2}$ > 0 nên sinα và cosα cùng dấu, do đó cosα > 0.

Chia cả tử và mẫu của K cho cos³α ta được:

K = $\frac{\frac{\sin^{3} α}{\cos^{3} α} + \frac{\sin α . \cos^{2} α}{\cos^{3} α} + \frac{2 \sin^{2} α . \cos α}{\cos^{3} α} - \frac{4 \cos^{3} α}{\cos^{3} α}}{\frac{\sin α}{\cos^{3} α} - \frac{\cos α}{\cos^{3} α}}$

= $\frac{\tan^{3} α + \tan α + 2 \tan^{2} α - 4}{\tan α . \frac{1}{\cos^{2} α} - \frac{1}{\cos^{2} α}}$

= $\frac{\tan^{3} α + \tan α + 2 \tan^{2} α - 4}{\frac{1}{c o s^{2} α} (\tan α - 1)}$

= $\frac{\tan^{3} α + \tan α + 2 \tan^{2} α - 4}{(\tan^{2} α + 1) . (\tan α - 1)}$

= $\frac{\tan^{3} α + \tan α + 2 \tan^{2} α - 4}{\tan^{3} α + \tan α - \tan^{2} α - 1}$

= $\frac{{(\sqrt{2})}^{3} + \sqrt{2} + 2 {(\sqrt{2})}^{2} - 4}{{(\sqrt{2})}^{3} + \sqrt{2} - {(\sqrt{2})}^{2} - 1}$

= $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} + 4 - 4}{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} - 2 - 1}$

= $\frac{3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 3}$ = $\frac{3 \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} - 1)}$

= $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$ = $\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)}$

= $\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2}$

Vậy K = 2 + $\sqrt{2} .$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác