Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C

Trang trước Trang sau

Bài 64 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = $\frac{A N}{A C}$ . Tìm x thỏa mãn AM ⊥ BN.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

⇔ $\vec{A M} = \vec{B M} - \vec{B A} = \frac{1}{2} \vec{B C} - \vec{B A}$

Ta lại có: $\vec{B N} = \vec{B A} + \vec{A N} = - \vec{A B} + x \vec{A C} = - \vec{A B} + x (\vec{A B} + \vec{B C})$

Ta lại có: $= (1 - x) \vec{B A} + x \vec{B C}$

⇒ $\vec{A M} . \vec{B N} = (\frac{1}{2} \vec{B C} - \vec{B A}) ((1 - x) \vec{B A} + x \vec{B C})$

⇔ $\vec{A M} . \vec{B N} = \frac{1}{2} (1 - x) \vec{B C} . \vec{B A} + \frac{1}{2} x {\vec{B C}}^{2} - (1 - x) {\vec{B A}}^{2} - x \vec{B A} . \vec{B C}$

⇔ $\vec{A M} . \vec{B N} = \frac{1}{2} x . a^{2} - (1 - x) a^{2}$

⇔ $\vec{A M} . \vec{B N} = (\frac{3}{2} x - 1) a^{2}$

Để AM vuông góc với BN thì

⇔ $(\frac{3}{2} x - 1) a^{2} = 0$

⇔ $\frac{3}{2} x - 1 = 0$

⇔ $x = \frac{2}{3}$

Vậy với $x = \frac{2}{3}$ thì AM ⊥ BN.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác