Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn BM = 1/3 BC, CN = 5/4 CA

Trang trước Trang sau

Bài 61 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn $B M = \frac{1}{3} B C$ , $C N = \frac{5}{4} C A$ . Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{B N}$ .

b) MN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn BM = 1/3 BC, CN = 5/4 CA

a) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s (\vec{A B}, \vec{A C})$

= $A B . A C . \cos \hat{B A C}$

= $a . a . \cos 60 °$

= $\frac{1}{2} a^{2}$

$\vec{A M} . \vec{B N} = (\vec{A B} + \vec{B M}) . (\vec{B A} + \vec{A N})$

$= (\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C}) . (\frac{1}{4} \vec{C A} - \vec{A B})$

$= (\vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})) . (- \frac{1}{4} \vec{A C} - \vec{A B})$

$= (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) . (- \frac{1}{4} \vec{A C} - \vec{A B})$

$= - \frac{2}{3} \vec{A B} . \frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B} . \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C} . \frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A C} . \vec{A B}$ $= - \frac{1}{6} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{2}{3} {\vec{A B}}^{2} - \frac{1}{12} {\vec{A C}}^{2} - \frac{1}{3} \vec{A C} . \vec{A B}$

$= - \frac{1}{6} . \frac{1}{2} a^{2} - \frac{2}{3} . a^{2} - \frac{1}{12} . a^{2} - \frac{1}{3} . \frac{1}{2} a^{2}$

$= - \frac{1}{12} a^{2} - \frac{2}{3} . a^{2} - \frac{1}{12} . a^{2} - \frac{1}{6} a^{2}$

$= - a^{2}$ .

b) Ta có: $\vec{M N} = \vec{M C} + \vec{C N}$

⇔ $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N} = - \frac{1}{3} \vec{B C} + \vec{B C} + \frac{5}{4} \vec{C A} = \frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{5}{4} \vec{C A}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = {(\frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{5}{4} \vec{C A})}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = {(\frac{2}{3} \vec{B C})}^{2} + \frac{5}{3} \vec{B C} . \vec{C A} + {(\frac{5}{4} \vec{C A})}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = {(\frac{2}{3} \vec{B C})}^{2} - \frac{5}{3} \vec{C B} . \vec{C A} + {(\frac{5}{4} \vec{C A})}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} {\vec{B C}}^{2} - \frac{5}{3} | \vec{B C} | . | \vec{C A} | cos (\vec{C B}, \vec{C A}) + \frac{25}{16} {\vec{C A}}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} {\vec{B C}}^{2} - \frac{5}{3} | \vec{B C} | . | \vec{C A} | cos \hat{C B A} + \frac{25}{16} {\vec{C A}}^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} a^{2} - \frac{5}{3} a . a cos60 ° + \frac{25}{16} a^{2}$

⇔ ${\vec{M N}}^{2} = \frac{4}{9} a^{2} - \frac{5}{6} a^{2} + \frac{25}{16} a^{2} = \frac{169}{144} a^{2}$

⇔ $M N = \frac{13}{12} a$

Vậy $M N = \frac{13}{12} a$ .

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác