Giáo án Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Mục tiêu cần đạt

   HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Mục tiêu: Gợi động cơ, tạo tình huống để HS tiếp cận với việc vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán trong thưc tiễn.

Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, từ đó làm nảy sinh nhu cầu tìm hiểu về cách giải quyết bài toán tối ưu trong thực tiễn.

Sản phẩm: Câu trả lời của HS.

Tổ chức hoạt động: HS làm việc cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.

Tình huống mở đầu (3 phút)

– GV tổ chức cho HS đọc bài toán và suy nghĩ bài toán.

– Đặt vấn đề:

GV có thể gợi vấn đề như trong SGK: Nguyên lí Fermat và ứng dụng của nó trong Vật lí là một ví dụ điển hình mô tả rõ tầm quan trọng của bài toán tối ưu trong khoa học, kĩ thuật. Trong thực tiễn cuộc sống, cũng có rất nhiều tình huống xuất hiện các bài toán tối ưu. VD như: một doanh nhân muốn giảm thiểu chi phí và tối đa hoá lợi nhuận kinh doanh; một du khách muốn giảm thiểu thời gian di chuyển,... Trong bài này, chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải một số bài toán tối ưu trong thực tiễn, đặc biệt là các bài toán tối ưu trong kinh tế.

– HS đọc và suy nghĩ về tình huống.

+ Mục đích của hoạt động này là giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung bài học, không yêu cầu giải quyết được ngay tình huống này.

+ Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Mục tiêu: Giúp HS hình thành các bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Nội dung: HS thực hiện Phiếu học tập số 1, HĐ1, VD1, từ đó hình thành các bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Sản phẩm: Lời giải của các câu hỏi trong Phiếu học tập số 1, hoạt động và ví dụ.

Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân và nhóm dưới sự hướng dẫn của GV.

1. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán trong thực tiễn

Nhắc lại kiến thức (4 phút)

– GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 3 phút thực hiện Phiếu học tập số 1 về bảng đạo hàm cơ bản, sau đó gọi một số HS đại diện trả lời, các HS khác theo dõi và nhận xét.

HĐ1 (14 phút)

– Sau khi thực hiện xong Phiếu học tập số 1, GV chia lớp thành các nhóm theo bàn, cho HS thực hiện nhóm HĐ1 trong 8 phút rồi gọi đại diện 4 nhóm trả lời câu hỏi, các nhóm theo dõi và nhận xét bài làm của các nhóm còn lại. GV tổng kết rồi chốt đáp án.

– Sau khi HS thực hiện xong HĐ1, GV sẽ giới thiệu cho HS các bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm. GV có thể sử dụng HĐ1 để minh hoạ cho 5 bước.

GV viết bảng hoặc trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

– HS thực hiện hoạt động dưới sự hướng dẫn của GV.

HD.

a) Kí hiệu S₁ là quãng đường người đánh cá chèo thuyền, v₁ là vận tốc chèo thuyền. Kí hiệu S₂ là quãng đường người đánh cá đi bộ dọc bờ biển và v₂ là vận tốc đi bộ.

Ta có v₁ = 3km/h, v₂ = 5km/h.

Kí hiệu PQ = x (km), x $\in$ [0;6].

b) Ta có S₂ = BQ = 6 - x (km).

Vì tam giác APQ vuông tại P nên

S₁ = AQ $=\sqrt{A{P}^2+P{Q}^2}$

$=\sqrt{2^2+x^2}$$=\sqrt{4+x^2}.$

c) S₁ = AP = 2, S₂ = BP = 6.

$t_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{2}{3},$ $t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{6}{5}.$

Do đó t = t₁ + t₂ = $\frac{28}{15}$(giờ).

d) S₁ = AQ = $\sqrt{4+x^2}$, S₂ = BQ = 6 - x.

$t_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{\sqrt{4+x^2}}{3},$ $t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{6-x}{5}.$

Do đó

t = t₁ + t₂ $=\frac{\sqrt{4+x^2}}{3}+\frac{6-x}{5}$ (giờ).

– HS ghi nội dung cần ghi nhớ.

+ Mục đích của hoạt động này là giúp HS tiếp cận với bài toán tối ưu trong chuyển động.

+ Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học, năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học.

Ví dụ 1 (12 phút)

– GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 8 phút, sau đó gọi một HS lên bảng thực hiện VD1, các HS khác theo dõi và nhận xét.

– GV nhận xét và chốt kiến thức, lưu ý hướng dẫn chi tiết VD1 theo các bước trong Khung kiến thức.

– HS thực hiện VD1 và ghi bài.

+ Mục đích của hoạt động này là giúp HS luyện tập các thao tác ứng dụng đạo hàm để giải bài toán tối ưu.

+ Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học, năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

Mục tiêu: Củng cố kĩ năng vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán trong thực tiễn.

Nội dung: HS thực hiện Luyện tập 1.

Sản phẩm: Lời giải của HS bài luyện tập.

Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.

Luyện tập 1 (10 phút)

– GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 8 phút, sau đó gọi một HS trả lời, các HS khác theo dõi và nhận xét.

– GV nhận xét và chốt kiến thức.

– HS thực hiện Luyện tập 1.

HD.a) Quỹ đạo chuyển động

$y=-\frac{g}{2v_0^{2}co{s}^2\alpha }.$$x^2+x\tan \alpha$ (1)

Hàm số (1) có dạng của hàm số bậc hai biến x với hệ số cao nhất âm, do đó đồ thị hàm số là một đường parabol có đỉnh ở trên. Độ cao nhất của vật trên quỹ đạo ứng với đỉnh của parabol.

Khi đó:

$x_P=\sin \alpha .cos\alpha .\frac{v_0^2}{g};$

$y_P={\sin }^2\alpha .\frac{v_0^2}{2g}.$

Với v₀ = 9 (m/s), g = 9,8 (m/ s²) ta có độ cao lớn nhất của vật là $y_P={\sin }^2\alpha .\frac{405}{98}.$

b) Tầm ném xa trong chuyển động ném xiên là:

L = 2x_P = sin2$\alpha$.$\frac{v_0^2}{g}$ = $\frac{810}{98}\sin 2\alpha \le \frac{405}{49}$

Tầm ném xa đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{405}{49}$ khi sin2$\alpha$ = 1 hay $\alpha =\frac{\pi }{4}$

+ Mục đích của hoạt động này là cung cấp cho HS một tình huống ứng dụng đạo hàm trong Vật lí.

+ Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học.

TỔNG KẾT VÀ HƯỚNG DẪN CÔNG VIỆC Ở NHÀ          

GV tổng kết lại nội dung bài học và dặn dò công việc ở nhà cho HS (2 phút)

– GV tổng kết lại các kiến thức trọng tâm của bài học: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán trong thưc tiễn (các bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm).

– Nhắc HS đọc trước bài mới chuẩn bị cho tiết học sau.