Giáo án Toán 12 Kết nối tri thức Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Mục tiêu: Gợi động cơ, tạo tình huống xuất hiện trong thực tế để HS thấy được tình huống cần tính góc trong thực tế.

Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, từ đó làm nảy sinh nhu cầu tìm hiểu về công thức tính góc.

Sản phẩm: Câu trả lời của HS.

Tổ chức hoạt động: HS làm việc cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.

Tình huống mở đầu (3 phút)

- GV tổ chức cho học sinh đọc bài toán và suy nghĩ bài toán.

- Đặt vấn đề:

GV có thể gợi vấn đề như sau: Việc tính được mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu chính là việc chúng ta đi tính góc giữa hai mặt phẳng. Vậy làm thể nào để tính được góc giữa hai mặt phẳng, ta sẽ đi tìm hiểu bài này.

HS đọc và suy nghĩ về tình huống.

- Mục đích của phần này chỉ là để HS thấy được tình huống cần tính góc trong thực tế.

- Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Mục tiêu: Giúp HS hình thành được công thức tính góc giữa hai đường thẳng, tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Nội dung: HS thực hiện HĐ1, HĐ2 và các ví dụ, từ đó hình thành công thức tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Sản phẩm: Lời giải của các câu hỏi trong hoạt động và ví dụ.

Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

HĐ1 (6 phút)

- GV cho HS đọc yêu cầu và thực hiện HĐ1 trong 3 phút và chọn 1 HS đứng tại chỗ trả lời. Sau đó GV cho HS khác nhận xét và chốt lại kết quả như sau: “Vậy để tính cosin của góc giữa hai đường thẳng, ta đưa về tính cosin của góc giữa hai vectơ”.

- GV cho HS nhắc lại công thức tính cosin của góc giữa 2 vectơ. GV viết bảng hoặc trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

HS thực hiện cá nhân HĐ1.

HD.

a) Nếu 0 ≤ $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})$ ≤ 90° thì $(∆;∆\text{'})$=$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})$.

Nếu ${90}^0$<$(\overrightarrow{u};\overrightarrow{u\text{'}})$$\le {180}^0$ thì $(∆;∆\text{'})$=${180}^0$-$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})$.

b) Ta có

cos$(∆;∆\text{'})$=|cos$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})$|.

- HS nhắc lại công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ.

- HS ghi nội dung cần ghi nhớ.

- Thông qua HĐ1, HS sẽ tìm hiểu được mối quan hệ của góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương.

 - Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học.

Ví dụ 1 (5 phút)

- GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 3 phút, sau đó gọi  HS trả lời, các HS khác theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và chốt kiến thức.

HS thực hiện Ví dụ 1 và ghi bài.

- Mục đích của hoạt động này là hình thành cho HS kĩ năng tính góc giữa hai đường thẳng.

- Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học.

Luyện tập 1 (5 phút)

- GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 3 phút, sau đó gọi một HS trả lời, các HS khác theo dõi và nhận xét. GV nhận xét và chốt kiến thức.

- HS thực hiện Luyện tập 1 và ghi bài.

HD. Đường thẳng ∆ có một  là $\overrightarrow{u}$=(1;2;-2) trục Oz có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{k}$=(0;0;1).

Ta có:

cos($∆$,Oz)=|cos$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})$|

=$\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{i}|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}=\frac{2}{3}$

Do đó ($∆$,Oz)$\approx$$48,2^0$.

- Mục đích của hoạt động này là luyện tập cho HS kĩ năng tính góc giữa hai đường thẳng.

- Góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán học.

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ2 (6 phút)

- GV cho HS đọc yêu cầu và thực hiện HĐ2 trong 3 phút và chọn 1 HS đứng tại chỗ trả lời. Sau đó GV cho HS khác nhận xét và chốt lại kết quả như sau: “Vậy để tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta đưa về tính cosin của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó”.

- GV viết bảng hoặc trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

- HS thực hiện cá nhân HĐ2.

HD.

a) Ta có

(∆;(P))+(∆;∆') = 90°

b) Ta có

sin(∆;(P))

= cos(∆;∆')

= |cos($\overrightarrow{u};\overrightarrow{n}$)|.

- HS ghi nội dung cần ghi nhớ.

- Thông qua HĐ2, HS tìm được mối quan hệ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến tương ứng.

 - Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học.

Ví dụ 2 (5 phút)

GV tổ chức cho HS làm việc cá nhân trong 3 phút, sau đó gọi một HS trả lời, các HS khác theo dõi và nhận xét.

HS thực hiện Ví dụ 2 và ghi bài.

- Thông qua Ví dụ 2, HS tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

- Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Mục tiêu: Rèn luyện kĩ năng tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Nội dung: HS thực hiện Luyện tập 2.

Sản phẩm: Lời giải của HS bài luyện tập.

Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.

Luyện tập 2 (5 phút)

GV tổ chức cho HS làm việc theo cá nhân trong 3 phút. GV gọi đại diện HS trình bày kết quả, các bạn khác theo dõi và nhận xét. GV tổng kết, góp ý.

- HS thực hiện Luyện tập 2 và ghi bài.

HD.

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$=(-1;2;1) mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$=(1;-1;1)

Ta có:

sin(∆,(P))

=|cos($\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}$)|

=$\frac{|-1-2+1|}{\sqrt{1+4+1}.\sqrt{1+1+1}}$

=$\frac{\sqrt{2}}{3}$

⇒(∆;(P)) ≈ 28.

- Rèn luyện cho HS kĩ năng tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

- Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học.