Bài 42 trang 128 Toán 9 Tập 1

Trang trước
Trang sau  

Video Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 Tập 1 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 42 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO'

c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'

Lời giải:

Để học tốt Toán 9 | Giải bài tập Toán 9

a)

Ta có: MB, MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)

Ta lại có MA, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = MB = MC => MA = 12BC

Xét tam giác ABC

Có MA là trung tuyến và MA = 12BC

Do đó, tam giác ABC vuông tại A

=> BAC^=90o

Xét tam giác MBA cân tại M  (do MA = MB )

Có EM là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ME cũng là đường cao

=> ME ⊥ AB => AEM^=90o

Xét tam giác MCA cân tại M (do MA = MC)

Có FM là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MF cũng là đường cao

=> MF ⊥ AC => AFM^=90o

Xét tứ giác AEMF có

BAC^=90o

AFM^=90o

AEM^=90o

Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

b)

Xét tam giác AOM vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có:

AE ⊥ MO nên AE là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA2 = ME . MO (3)

Xét tam giác AO’M vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có AF ⊥ MO' nên AF là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA2 = MF.MO' (4)

Từ (3) và (4)  ME. MO = MF. MO’.

c)

Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a)

Do đó, A, B, C nằm trên đường tròn tâm M bán kính MA, đường tròn này có BC là đường kính do BAC^=90o.

Mặt khác OO' ⊥ MA tại A

Do đó, OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

d)

Ta có: OB⊥BCO'C⊥BC⇒OB//O'C

Do đó, tứ giác OBCO’ là hình thang

Gọi I là trung điểm của OO’.

Ta có M là trung điểm của BC.

Do đó, MI  là đường trung bình của hình thang OBCO’

⇒ MI // OB // O'C

Mà OB⊥BCO'C⊥BC⇒MI⊥BC (5)

Ta có AEMF là hình chữ nhật nên OMO'^=EMF^=90o

Do đó, tam giác OMO’ vuông tại M

Ta lại có MI là trung tuyến của tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó, O, M, O’ nằm trên đường tròn tâm I đường kính OO’ (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính OO’.

Tham khảo lời giải các bài tập Toán 9 bài ôn tập chương II khác:

Các bài giải Toán 9 Tập 1 Chương 2 khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước
Trang sau  
bai-on-tap-chuong-2-phan-hinh-hoc.jsp
Các loạt bài lớp 9 khác