Giải bài 16 trang 109 SGK Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao

Luyện tập (trang 109)

Bài 16 (trang 109 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

a) Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng;

b) Chứng minh rằng u_n = 1 + (n – 1).2ⁿ với mọi n ≥ 1.

Lời giải:

a) Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

u_{n + 1} - u_n = (n + 1).2ⁿ > 0 Ɐ n ≥ 1

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

b) Ta sẽ chứng minh u_n = 1 + (n – 1).2² (1) với mọi n ≥ 1, bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1, ta có u₁ = 1 = 1 + (1 – 1).2¹. Như vậy(1) đúng khi n = 1

Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết quy nạp ta có:

u_{k + 1} = u_k + (k + 1).2^k = 1 + (k + 1).2^k = 1 + ( k – 1).2^k + (k + 1).2^k = 1 + k.2^{k + 1}

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọin ≥ 1.

Các bài giải bài tập Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao Bài Luyện tập (trang 109) Chương 3 khác:

luyen-tap-trang-109.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học