Sách bài tập Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 35 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức vi-ét:

a. 5x² + 2x -16 =0     b.3x² -2x -5 =0

Lời giải:

a. Phương trình 5x² + 2x -16 =0 có hệ số a=5 ,b=2 c=-16

Ta có: Δ'=1² -5(-16) = 1 + 80 =81 >0

√Δ' = √81 =9

b. Phương trình 3x² -2x -5 =0 có hệ số a =3,b = -2, c = -5

Ta có: Δ'=(-1)² -3(-5) = 1 + 15 =16 >0

√Δ' = √16 =4

c. Phương trình ⇔ x² +6x – 16 = 0 có hệ số a = 1, b = 6, c = -16

Δ'=3² -1(-16) = 9 +16 =25 > 0

√Δ' = √25 =5

d. Phương trình ⇔ x² -6x +4 =0 có hệ số a=1,b=-6,c=4

Ta có: Δ'=(-3)² -1.4 = 9 -4 =5 >0

√Δ' = √5

Bài 36 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình

a.2x² – 7x +2 =0     b.2x² + 9x + 7 =0

c. (2 - √3 )x²+4x +2 +√2 =0     d.1,4x² -3x +1,2 =0

e.5x² +x +2 =0

Lời giải:

a) Ta có:Δ =(-7)² -4.2.2 =49 -16 =33 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ =-b/a =7/2 ;x₁x₂ =c/a =2/2 =1

b) 2x² + 9x + 7 = 0

Δ = 9² - 4.2.7 = 81 - 56 = 25 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – et ta có:

c) Ta có: Δ’ = 2² – (2 -√3 )(2 + √2 ) =4 -4 - 2√2 +2√3 +√6

= 2√3 - 2√2 +√6 >0

Phương trình 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

d) Ta có : Δ = (-3)² -4.1,4.1,2 =9 – 6,72 =2,28 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = -b/a = 3/(1,4) = 30/14 = 15/7 ; x₁x₂ = c/a = (1,2)/(1,4) = 12/14 = 6/7

Ta có: Δ = 1² -4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0

e) Ta có: Δ = 1² -4.5.2 = 1 - 40 = -39 < 0

Bài 37 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a. 7x² -9x +2=0 b.23x² -9x -32=0

c.1975x² + 4x -1979 =0 d.(5 +√2 )x² + (5 - √2 )x -10 =0

    f. 31,1x² – 50,9x +19,8 =0

Lời giải:

a) Phương trình 7x² -9x +2 = 0 có hệ số a = 7, b = -9, c = 2

Ta có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = 2/7

b) Phương trình 23x² - 9x – 32 = 0 có hệ số a = 23, b = -9, c = -32

Ta có: a –b +c =23 – (-9) +(-32) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁= -1, x₂ = -c/a = -(-32)/23 = 32/23

c. Phương trình 1975x² + 4x -1979 = 0 có hệ số a = 1975, b = 4, c = -1979

Ta có: a +b +c =1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = c/a = -1979/1975

d) Phương trình (5 +√2 )x² + (5 - √2 )x -10 = 0 có hệ số

a =5 +√2 , b = 5 - √2 , c = -10

Ta có: a +b +c =5 +√2 +5 - √2 +(-10)=0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1 , x₂ = c/a = (-10)/(5+ √2)

⇔ 2x² - 9x - 11 = 0 có hệ số a = 2, b = -9, c = -11

Ta có: a –b +c =2 – (-9) +(-11) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁=-1 , x₂ = -c/a = -(-11)/2 =11/2

f. Phương trình 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0 ⇔ 311x² – 509x +198 = 0 có hệ số a = 311, b = -509, c = 198

Ta có: a + b + c = 311 + (-509) + 198 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1 , x₂ = c/a = 198/311

Bài 38 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a. x²-6x +8=0     b.x² -12x + 32 =0

c. x² +6x +8 =0     d.x² -3x -10 =0

e. x² +3x -10 =0

Lời giải:

a. Ta có: Δ’ = (-3)² -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =2, x₂ =4

b. Ta có: Δ’ = (-6)² -1.32 = 36 - 32 = 4 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =4,x₂ =8

c. Ta có: Δ’ = 3² -1.8=9 -8 =1 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =-4

d. Ta có: Δ = (-3)² -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được x₁ =-2, x₂ =5

e. Ta có: Δ = 3² -4.1.(-10)=9 +40 =49 > 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải ra ta được: x₁ = 2, x₂ = -5

Bài 39 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2:

a. Chứng tỏ rằng phương trình 3x² +2x -21 =0 có một nghiệm là -3.Hãy tìm nghiệm kia

b. Chứng tỏ rằng phương trình -4x² -3x +115=0 có một nghiệm là 5.Hãy tìm nghiệm kia

Lời giải:

a. Thay x =-3 vào vế trái của phương trình , ta có:

3.(-3)²+2(-3) -21 =27 – 6 -21 =0

Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình 3x² +2x -21 =0

Theo hệ thức vi-ét ta có : x₁x₂ = c/a = -21/3 = -7 ⇒ x₂ = -7/x₁ = -7/-3 = 7/3

Vậy nghiệm còn lại là x = 7/3

b. Thay x =5 vào vế trái của phương trình ,ta có:

-4.5² -3.5 +115 =-100 -15 +115 =0

Vậy x=5 là nghiệm của phương trình -4x² -3x +115=0

Theo hệ thức Vi-ét ta có : x₁x₂ = c/a = 115/-4 ⇒ 5x₂ = -115/4 ⇒ x₂ = -23/4

Vậy nghiệm còn lại là x = -23/4

Bài 40 trang 57 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng hệ thức vi-ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a. Phương trình x² +mx -35 =0 có nghiệm x₁ =7

b. Phương trình x² -13x+m=0 có nghiệm x₁ =12,5

c. Phương trình 4x² +3x – m² +3m =0 có nghiệm x₁ =-2

d. Phương trình 3x² -2(m -3)x +5 =0 có nghiệm x₁ =1/3

Lời giải:

a. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ =-35

Suy ra 7x₂ =-35 ⇔ x₂ =-5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =-m

Suy ra: m=-7 +5 ⇔ m =-2

Vậy với m =-2 thì phương trình x² + mx - 35 = 0 có hai nghiệm x₁ =7, x₂ =-5

b. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =13

Suy ra 12,5 + x₂ = 13 ⇔ x₂ = 0,5

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = m

Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m =6,25

Vậy với m = 6,25 thì phương trình x² -13x + m = 0 có hai nghiệm

x₁ =12,5 ,x₂ =0,5

c) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = - 3/4

Suy ra: -2 + x₂ = - 3/4 ⇔ x₂ = -3/4 + 2 = 5/4

Cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ = (-m²+3m)/4

Suy ra: -2. 5/4 = (-m²+3m)/4 ⇔ m² -3m -10 =0

Δ= (-3)² -4.1.(-10) =9+40 =49

√Δ =√49 =7

m₁ =(3 +7)/(2.1) =5 ; m₂ =(3 -7)/(2.1) =-2

Vậy với m =5 hoặc m = -2 thì phương trình 4x² +3x – m² +3m = 0 có hai nghiệm x₁ =-2 , x₂ =5/4

d) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁x₂ =5/3

Suy ra: 1/3 .x₂ = 5/3 ⇔ x₂ =5/3 : 1/3 =5/3 .3=5

cũng theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =[2(m -3)]/3

Suy ra: 1/3 +5 = [2(m -3)]/3 ⇔ 2(m -3) =16 ⇔ m-3=8 ⇔ m=11

Vậy với m = 11 thì phương trình 3x² -2(m -3)x +5 =0 có hai nghiệm x₁ = 1/3 , x₂ = 5

Bài 41 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a. u +v =14, uv =40     b. u +v =-7, uv =12

c. u +v =-5, uv =-24     d. u +v =4, uv =19

e. u – v =10, uv =24     f. u² + v² =85,uv =18

Lời giải:

a) Hai số u và v với u +v =14 và uv =40 nên nó là nghiệm của phương trình x² -14x + 40=0

Δ’= (-7)² – 1.40=49 -40 =9 > 0

√Δ' = √9 =3

Vậy u=10, v=4 hoặc u = 4, v = 10

b. Hai số u và v với u +v =-7 và uv =12 nên nó là nghiệm của phương trình x² +7x + 12=0

Δ= (7)² – 4.1.12=49 -48=1 > 0

√Δ =√1 =1

Vậy u=-3,v=-4 hoặc u=-4,v=-3

c. Hai số u và v với u +v =-5 và uv =-24 nên nó là nghiệm của phương trình x² +5x -24 =0

Δ= (5)² – 4.1.(-24)= 25 +96=121 > 0

√Δ = √121 =11

Vậy u = 3, v = -8 hoặc u = -8, v = 3

d. Hai số u và v với u +v =4 và uv =19 nên nó là nghiệm của phương trình x² - 4x +19 = 0

Δ’= (-2)² – 1.19= 4 - 19=-15 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

e. Ta có:

u - v = 10 ⇒ u + (-v) = 10

u.(-v) = -uv = -24

Do đó, u, -v là nghiệm của phương trình: x² - 10x - 24 = 0

Δ’= (-5)² – 1.(-24)= 25 +24=49 > 0

√Δ' = √49 =7

Vậy u = 12 , -v = -2 hoặc u = -2, -v = 12 suy ra u = 12 , v = 2 hoặc u = -2 , v = -12

f. Hai số u và v với u² + v² =85 và uv =18 suy ra : u²v²=324 nên u² và v² là nghiệm của phương trình x² -85x +324 =0

Δ= (-85)² – 4.1.324= 7225 – 1296=5929 > 0

√Δ = √2959 =77

Ta có: u² =81 ,v² =4 suy ra: u =±9 ,v=± 2

hoặc u² =4 ,v² =81 suy ra: u =±2 ,v=± 9

Vậy nếu u=9 thì v=2 hoặc u=-9 ,v=-2

nếu u=2 thì v=9 hoặc u= -2 ,v=-9

Bài 42 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho mỗi trường hợp sau:

a. 3 và 5     b.-4 và 7

c. -5 và 1/3     d.1,9 và 5,1

e. 4 và 1 -√2     f.3 - √5 và 3 + √5

Lời giải:

a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

(x -3)(x -5) = 0 ⇔ x² -3x -5x +15 =0 ⇔ x² -8x +15 =0

b. Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình:

(x +4)(x -7) = 0 ⇔ x² +4x -7x -28 =0 ⇔ x² -3x -28 =0

c. Hai số -5 và 1/3 là nghiệm của phương trình:

(x +5)(x -1/3 )=0 ⇔ x² +5x -1/3 x -5/3 =0 ⇔ 3x² +14x - 5 =0

d. Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:

(x - 1,9)(x -5,1)=0 ⇔ x² - 1,9x - 5,1x + 9,69 = 0

⇔ x² -7x + 9,69 = 0

e. Hai số 4 và 1 -√2 là nghiệm của phương trình:

(x - 4)[x –(1 -√2 )] =0 ⇔ (x -4)(x -1 +√2 ) =0

⇔ x² - x +√2 x -4x +4 - 4√2 =0

⇔ x² – (5 -√2 )x +4 - 4√2 =0

f. Hai số 3 - √5 và 3 + √5 là nghiệm của phương trình:

[x – (3 - √5 )][ x – (3 + √5 )] = 0

⇔ x² – (3 + √5 )x - (3 - √5 )x +(3+ √5 )(3 - √5 ) =0

⇔ x² -6x +4 =0

Bài 43 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² + px – 5 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a. –x₁ và –x₂     

Lời giải:

a) Phương trình x₂+px -5=0 có hai nghiệm x₁ và x₂ nên theo hệ thức vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = -p/1 = -p ; x₁x₂ =-5/1 =-5     (1)

Hai số –x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

[x – (-x₁)] [x – (-x₂)] =0

⇔ x² – (-x₁x) – (-x₂x) + (-x₁)(-x₂) =0

⇔ x² + x₁x + x₂x + x₁x₂ =0

⇔ x² + (x₁ + x₂ )x + x₁x₂ =0     (2)

Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là x² – px -5 =0

Bài 44 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² -6x +m=0

Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ –x₂ =4

Lời giải:

Phương trình x² - 6x + m = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ =-(-6)/1 = 6

Kết hợp với điều kiện x₁ – x₂ =4 ta có hệ phương trình :

Áp dụng hệ thức vi-ét vào phương trình x² -6x +m=0 ta có:

x₁x₂ = m/1 = m . Suy ra : m = 5.1 = 5

Vậy m =5 thì phương trình x² -6x +m=0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ – x₂ =4

Bài 1 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0, ( ).

Lời giải:

Bài 2 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử x₁, x₂ la hai nghiệm của phương trình x² + px + q = 0. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ + x₂, x₁x₂.

Lời giải:

Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: x² + px + q = 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ = - p/1 = - p;x₁x₂ = q/1 = q

Phương trình có hai nghiệm là x₁ + x₂ và x₁x₂ tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.

Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.

(x + p)(x - q) = 0 ⇔ x² - qx + px - pq = 0 ⇔ x² + (p - q)x - pq = 0

Phương trình cần tìm: x² + (p - q)x - pq = 0

Bài 3 trang 58 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng định lý Vi – ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức ax² + bx + c có hai nghiệm x₁, x₂ thì nó phân tích được thành ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Lời giải:

Bài 4 trang 59 Sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình

(SBT)

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Lời giải:

Xem thêm Video Giải sách bài tập Toán lớp 9 (SBT Toán 9) hay và chi tiết khác:

• Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
• Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Ôn tập chương 4
• Bài 1: Góc ở tâm - Số đo cung

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán

---